二次根式

定义性质和概念

如果一个数的平方等于a那么这个数叫做a的平方根a可以是具体的数也可以是含有字母的代数式

即若

则x叫做a的平方根记作x=

其中a叫被开方数其中正的平方根被称为算术平方根

关于二次根式概念应注意

被开方数可以是数 也可以是代数式被开方数为正或0的其平方根为实数被开方数为负的其平方根为虚数

性质

1.任何一个正数的平方根有两个它们互为相反数如正数a的算术平方根是

则a的另一个平方根为﹣

2.零的平方根是零即

3.有理化根式如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式

4.无理数可用有理数形式表示, 如:

和几何意义

1°

(a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式利用此性质在实数范围内因式分解];

2°

都是非负数当a≥0时

而

中a取值范围是a≥0

中取值范围是全体实数

3°c=

表示直角三角形内斜边等于两直角边的平方和的根号即勾股定理推论;

4° 逆用可将根号外的非负因式移到括号内如

﹙a>0﹚

﹙a<0﹚

﹙a≥0﹚

﹙a<0﹚

7° 注意:

即具有双重非负性

算术平方根

正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根用(a≥0)来表示

0的算术平方根为0.

开平方运算

求一个非负数的平方根的运算叫做开平方开平方与平方互为逆运算

化简

化简二次根式是初中阶段考试必考的内容初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容

最简二次根式

定义概要?被开方数不含分母?被开方数中不含能开得尽的因数或因式

二次根式化简一般步骤

①把带分数或小数化成假分数

②把开方数分解成质因数或分解因式

③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外

④化去根号内的分母或化去分母中的根号

⑤约分

运算法则

乘除法

1.积的算数平方根的性质

a≥0b≥0

2. 乘法法则

a≥0b≥0

二次根式的乘法运算法则用语言叙述为两个因式的算术平方根的积等于这两个因式积的算术平方根

3.除法法则

a≥0b>0

二次根式的除法运算法则用语言叙述为两个数的算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根

有理化因式

两个含有二次根式的代数式相乘如果他们的积不含有二次根式那么这两个代数式叫做互为有理化因式

注意﹙①他们必须是成对出现的两个代数式②这两个代数式都含有二次根式③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式﹚

常用有理化因式有:

与

与

与

与

与

分母有理化

在分母含有根号的式子中把分母的根号化去叫做分母有理化

分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程以下列出分母有理化的几种方法

1直接利用二次根式的运算法则

例

﹙a≥0b>0﹚

2利用平方差公式

例

﹙a≥0b≥0a≠b﹚

3利用因式分解

例

此题可运用待定系数法便于分子的分解

4利用约分

﹙x>0y>0﹚

﹙x>0y>0﹚

分子有理化

把分子中的根号化去叫做分子有理化

﹙a≥0b≥0a≠b﹚

换元法

换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法是化简的重要方法之一

例在根式

中令

即可得到

原式=

分析通过换元法换元将根号下的数化简最后求值

应用

二次根式的应用主要体现在两个方面

1利用从特殊到一般再由一般到特殊的重要思想方法解决一些规律探索性问题

2利用二次根式解决长度高度计算问题根据已知量求出一些长度或高度或设计省料的方案以及图形的拼接分割问题这个过程需要用到二次根式的计算其实就是化简求值

运算

加减法

1同类二次根式

一般地把几个二次根式化为最简二次根式后如果它们的被开方数相同就把这几个二次根式叫做同类二次根式

2合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式

3二次根式加减时可以先将二次根式化为最简二次根式再将被开方数相同的进行合并

例如1

2

乘除法

二次根式相乘除把被开方数相乘除根指数不变再把结果化为最简二次根式

1. 乘法

﹙a≥0b≥0﹚

推广

﹙a1,2,3,…,n≥0﹚

2.除法

﹙a≥0b>0﹚

推广

.

﹙a≥0b>0﹚

混合运算

二次根式混合运算与实数运算相同的运算顺序相同先乘方在乘除后加减有括号的先算括号里面的

乘法公式

?

型运用分配律化简原式

?

﹙a≥0b≥0﹚直接运用平方差公式

?

﹙a≥0b≥0﹚直接运用完全平方公式

?

型

运算方法

1确定运算顺序

2灵活运用运算定律

3正确使用乘法公式

4大多数分母有理化要及时

5在有些简便运算中也许可以约分不要盲目有理化

6字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明

7提公因式时可以考虑提带根号的公因式

共轭根式

共轭根式

当A,B,C,D都是有理式而

,

中至少有一个是无理式时称

和

互为共轭根式这两式的积是有理式

两个根式互为共轭根式则他们互为有理化因式

共轭虚根 (证明)

共轭:复数中实部相等而虚部互为相反数的一对复数称为共轭复数对

形如a+bi 和a-bi

求根公式

对于任意一个一元二次方程ax^2+bx+c=0,

它的两个根是 [-b-√(b^{2-4ac)]/2a,[-b+√(b2-4ac)]/2a}

这是由配方法求得的公式

当b^{2-4ac< 0 时√(b2-4ac) = √(4ac-b2) i}

所以方程的两个根就变为

-b/2a-√(4ac-b^{2)/2a i 和 -b/2a+√(4ac-b2)/2ai}

这样

两根的实部都为 -b/2a

两根的虚部 -√(4ac-b^{2)/2a和 +√(4ac-b2) /2a互为相反数}

两根就成为了 共轭的一对复根了

两个实部相等虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)当虚部不等于0时也叫共轭虚数复数z的共轭复数记作zˊ

根据定义若z=a+bi(ab∈R)则zˊ=a－bia,b∈R)共轭复数所对应的点关于实轴对称
1.代数特征
1|z|=|z′|
2z+z′=2a实数z-z′=2bi
3z·z′=|z|2=a^{2+b2为一实数
4z″=z
2.运算特征
1(z1+z2)′=z1′+z2′
2 (z1-z2)′=z1′-z2′
3 (z1·z2)′=z1′·z2′
4 (z1/z2)′=z1′/z2′ (z2≠0)
3 模的运算性质
① |z1·z2| = |z1|·|z2|
②
③┃|z1|－|z2|┃≤|z1+z2|≤|z2|+|z2|
|z1－z2| = |z1－z2|是复平面的两点间距离公式由此几何意义可以推出复平面上的直线圆双曲线椭圆的方程以及抛物线
ps:z′表示复数z的共轭复数(实际形式为z上一横)z″表示复数z的共轭复数的共轭复数(为z上两横)}

题目

① 设

. 求

的值(用含有n的代数式标识,其中n为正整数).

化简

.

②已知

求

的值

③

其中

④

⑤

⑥已知xy满足

且x≠0求

的值

⑦设

xyz>0且

试求

的值

⑧化简(1)

(2)