偶函数

公式

1、如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足 f(x)=f(-x) 如y=x*x;，y=cos x

2、如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称.

3、偶函数的定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要非充分条件.

例如:f(x)=x^2,x∈R(f(x)等于x的平方,x属于一切实数),此时的f(x)为偶函

偶函数的性质3

数.f(x)=x^2,x∈(-2,2](f(x)等于x的平方,-2

如图①奇函数（关于原点对称），图②即为偶函数，（关于y轴对称）

注意定义域为关于y轴对称，则f(x)=f(-x)一定是是偶函数。

相关函数：奇函数，非奇非偶函数

如图（1）奇函数（关于原点对称），图(2)偶函数，（关于y轴对称）

方法

代数判断法

先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，即为非奇非偶，若对称，f(-x)=-f(x)的是奇函数 f(-x)=f(x)的是偶函数

几何判断方法：

关于原点对称的函数是奇函数，关于Y轴对称的函数是偶函数

如果f(x)为偶函数，则f(x+a)=f[-(x+a)]

运算法则

(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.

(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

(7).奇函数一定满足f(0)=0（因为F（0）这个表达式表示0在定义域范围内，F(0)就必须为0）所以不一定奇函数有f(0)，但有F（0）时F（0）必须等于0，不一定有f(0)=0，推出奇函数，此时函数不一定为奇函数，例f(x)=x^2.

（8）定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；

—*—因为定义域在R上，所以在x=0点存在f(0)，要想关于原点对称，在原点又只能取一个y值，只能是f(0)=0。

（这是一条可以直接用的结论：当x可以取0，f（x）又是奇函数时，f（0）=0）。

（9）当且仅当f（x）=0（定义域关于原点对称）时，f（x）既是奇函数又是偶函数。

(10) 在对称区间上，被积函数为奇函数的定积分为零。