积化和差
sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]
cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]
cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]
sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）
两角和与差
cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）
tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）
万能代换
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sinα=2tan（α/2）/[1+tan?（α/2）]
cosα=[1-tan?（α/2）]/[1+tan?（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-tan?（α/2）]
倍角公式
二倍角
sin2α = 2cosαsinα = 2tanα / （1 + tan?α）
cos2α = cos?α-sin?α=1-2sin?α=2cos?α－1
tan2α = 2tanα/[1 － (tanα)?]
二倍角变式
sin2α = sin^2(α + π/4) － cos^2(α + π/4) = 2sin^2(a + π/4) － 1 = 1 － 2cos^2(α + π/4);
cos2α = 2sin(α + π/4)cos(α + π/4)
三倍角
sin3α=3sinα-4sin?α
cos3α=4cos?α-3cosα
tan3α=（3tanα-tan?α）/（1-3tan?α）
sin3α=4sinα×sin（π/3-α）sin（π/3+α）
cos3α=4cosα×cos（π/3-α）cos（π/3+α)
tan3α=tanα×tan（π/3-α）tan（π/3+α）
n倍角
根据欧拉公式(cos θ+i·sin θ)^n=cos nθ+i·sin nθ （注：sin θ前的 i 是虚数单位，即-1开方）
将左边用二项式定理展开分别整理实部和虚部可以得到下面两组公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α
辅助角
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)]
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-arctan(A/B)]
半角公式
sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]
cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]
tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα
cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)=cscα+cotα
sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]
csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]
半倍角
sin?（α/2）=（1-cosα）/2
cos?（α/2）=（1+cosα）/2
tan?（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
半角变形
sin?（α/2）=（1-cosα）/2
sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] （ a/2在一、二象限）
或=-√[（1-cosα）/2] （a/2在三、四象限）
cos?（α/2）=（1+cosα）/2
cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] （ a/2在一、四象限）
或=-√[（1+cosα）/2] （a/2在二、三象限）
tan?（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] （ a/2在一、三象限）
或=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] （ a/2在二、四象限）
内角公式
设A，B，C是三角形的三个内角
sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）
cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
降幂公式
恒等变形
tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)
tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)
asinx+bcosx=[√（a?+b?）]{[a/√（a?+b?）]sinx+[b/√（a?+b?）]cosx}=[√（a?+b?）]sin(x+y)【辅助角公式，其中tan y=b/a，或者说sinx=b/[√（a?+b?）],cosx=a/[√（a?+b?）]】
设A，B，C是三角形的三个内角
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
诱导公式
sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
sec（2kπ+α）=secα
csc（2kπ+α）=cscα
sin（π+α）=－sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
sin（π－α）=sinα
cos（π－α）=-cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
sin（α-π）=－sinα
cos（α-π）=－cosα
tan（α-π）=tanα
cot（α-π）=cotα
sec(α-π)=-secα
csc(α-π)=－cscα
sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
sin（3π/2+α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
cot（3π/2+α）=－tanα
sec(3π/2+α)=cscα
csc(3π/2+α)=-secα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα
sec(3π/2-α)=-cscα
csc(3π/2-α)=-secα
2cos?α-1=1-2sin?α
sin?a+cos?a=1
sina/cosa=tana
和差化积
证明方法
首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。利用正弦和余弦的定义及周期性，可证明该公式对任意角成立。于是有 cos(A+B)=sin（90-A-B)=sin（90-A)cos(-B)+cos（90-A)sin（-B）=cosAcosB-sinAsinB
由此易得以上全部公式