空间向量

问题

立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。

常识

以下用向量法求解的简单常识：

1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同）

2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面．

3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 a=kb（k∈R）．

4、利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0 ．

5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 a,b，求：

6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： ．

7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．

卦限

三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。

空间向量的八个卦限的符号
Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	Ⅵ	Ⅶ	Ⅷ
x	+	-	-	+	+	-	-	+
y	+	+	-	-	+	+	-	-
z	+	+	+	+	-	-	-	-

基本定理

1共线向量定理

两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a//b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2共面向量定理

如果两个向量a,b向量不共线则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3空间向量分解定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

计算

第一步：

按照图形建立三维坐标系O-xyz之后，将点的坐标带进去，求出所需向量的坐标。

第二步：

求平面的法向量：

令法向量n=（x,y,z）

然后因为法向量垂直于面

所以n垂直于面内两相交直线（其方向向量为a、b)

可列出两个方程 n·a=0,n·b=0

两个方程，三个未知数

然后根据计算方便

取z（或x或y）等于一个数

然后就求出面的一个法向量n的坐标了.

会求法向量后

1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量的夹角，所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2.

2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点，

求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量，记为a

点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求.

3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量

可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 ：cos=|n·m|/(|n||m|)

那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。

4.设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν 则

线线平行 l∥m<=> a∥b <=> a=kb；

线面平行 l∥α<=> a⊥μ <=> a·μ=0；

面面平行 α∥β <=> μ∥ν <=> μ=kν

线线垂直 l⊥m<=> a⊥b <=>a·b=0；

线面垂直 l⊥α <=> a∥μ <=> a=kμ；

面面垂直 α⊥β<=> μ⊥ν <=> μ·ν=0

5.向量的坐标运算：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)则

1.|a|=√（x1^2+y1^2)

2.a+b=(x1+x2,y1+y2)

3.a-b=(x1-x2,y1-y2)

4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)

5.a//b<=>x1y2-x2y1=0

6.a⊥b<=>x1x2+y1y2=0

7.cosθ=（x1x2+y1y2)/√（x1^2+y1^2)√(x2^2+y2^2)