基本简介
凸四边形
作出一边所在直线，其余各边均在其同侧。
平行四边形(包括：普通平行四边形,矩形,菱形,正方形)。
梯形(包括:普通梯形,直角梯形,等腰梯形)。
凸四边形的内角和和外角和均为360度。
凹四边形
四边形作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧。不做重点研究。
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的形状取决于原四边形的对角线。若原四边形的对角线垂直，则中点四边形为矩形；若原四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形；若原四边形的对角线既垂直又相等，则中点四边形为正方形。
面积公式
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)。
性质
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补
（简述为“平行四边形的邻角互补”）
（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。
（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）
判定
（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）
（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）
（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）
（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”
（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）
面积
平行四边形的面积公式：底×高 用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，
则S=ah
周长
平行四边形的周长=2×两邻边的和，用“a”、“b”表示两邻边，“C”表示平行四边形的周长，
则C=2（a+b）
矩形
定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle).
性质
①矩形的四个角都是直角；
②矩形的对角线相等.
注意：矩形也具有平行四边形的一切性质.
判定
①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
②四个角都相等的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形；
④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
⑤有三个角是直角的四边形是矩形.
面积
设矩形的两条邻边长分别为a,b，则面积为ab.
周长
设矩形的两条邻边长分别为a,b，则周长为(2a+2b).
菱形
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus).
性质
①菱形的四条边都相等；
②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
注意：菱形也具有平行四边形的一切性质.
判定
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四条边都相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
面积
①对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；
②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx
周长
菱形周长=边长×4 用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，
则C=4a
正方形
定义
有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形(square)。
性质
①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
判定
因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以判定正方形有四个途径：
①有一组邻边相等的矩形是正方形。
②有一个角是直角的菱形是正方形。
③两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形。
④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。
面积
①正方形面积=边长的平方 S=a×a（S表示正方形的面积，a表示正方形的边长）。
②对角线乘积的一半。
周长
正方形周长=边长×4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a
梯形及特殊梯形
定义
梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(trapezium)（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形）。
等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形(isosceles trapezium)。
直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
等腰梯形的性质
1、等腰梯形两腰相等、两底平行；
2、等腰梯形在同一底上的两个内角相等；
3、等腰梯形的对角线相等(可能垂直）；
4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。
等腰梯形的判定
1、两腰相等的梯形是等腰梯形。
2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
3、对角线相等的梯形是等腰梯形。
面积
1、梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2
2、梯形面积=梯形中位线×高
周长
梯形的周长=上底+下底+腰+腰 用“a”、“b”、“c”、“d”分别表示梯形的上底、下底、两腰，“C”表示梯形的周长
则c=a+b+c+d
圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。
性质
1、圆内接四边形的对角互补。
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
3、圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。（托勒密定理）
判定
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上。
面积
圆内接四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]。（a,b,c,d为四边形的四边长,其中P=(a+b+c+d)/2
对角线垂直四边形
定义
对角线互相垂直的四边形。
性质
四边形面积等于两条对角线的积的一半。
例：四边形ABCD中，AC⊥BD ，则S□ABCD=1/2·AC·BD
特殊四边形
对角线垂直的特殊四边形有：菱形、正方形、特殊梯形。
公式说明
平行四边形的面积公式：底×高 用“h”表示高，“a”表示底。
矩形的两条邻边长分别为a,b。
正方形周长=边长×4 用“a”表示正方形的边长。
梯形的周长=上底+下底+腰+腰 用“a”、“b”、“c”、“d”分别表示梯形的上底、下底、两腰。
圆内接四边形=a,b,c,d为四边形的四边长,其中P=(a+b+c+d)/2
四边形面积等于两条对角线的积的一半。
菱形周长=边长×4 用“a”表示菱形的边长。
应用实例
平行四边形
解：连接BD
因为ABCD是平行四边形
所以S平行四边形=2S三角形ADB=2S三角形ABC
因为AB=8 AD=6 角DAB=30度
S三角形ADB=1/2*AD*AB*sin角DAB=1/2*8*6*1/2=12
所以S三角形ABC=24
因为E.F是对角线AC的三等分点
所以S三角形BEF=1/3S三角形ABC=8
所以三角形BEF的面积是8
其他资料
四边形的不稳定性
四边形不具有三角形的稳定性，易于变形。但正是由于四边形不稳定具有的活动性，使其在生活中有广泛的应用，如拉伸门等拉伸、折叠结构。