范例
例1
一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数求此数
解设此自然数为x依题意可得
x-45=m2 ⑴
x+44=n2 ⑵
m,n为自然数
⑵-⑴可得 :
因为n+m>n-m
又因为89为质数
所以n+m=89; n-m=1
解之得n=45代入⑵得故所求的自然数是1981
例2
求证四个连续的整数的积加上1等于一个奇数的平方1954年基辅数学竞赛题
解设四个连续整数分别为n-1nn+1n+2.
这时
(n-1)n(n+1)(n+2)+1
= …①
易知该式可被分解为两个二次因式的乘积设为
得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1解得a=d=e=b=1,c=f=-1
故①可被分解为 因为n与n+1是连续两个整数故n(n+1)为偶数所以[n(n+1)-1]为奇数即(n-1)n(n+1)(n+2)+1为一个奇数的平方
例3
求证11,111,111111111……这串数中没有完全平方数1972年基辅数学竞赛题
解易知该串数中若存在完全平方数则为末尾是1或9的数的平方
当该串数中存在末尾为1的数的平方时则 其中nk为正整数
但 易知n2需满足十位数为偶数矛盾
当该串数中存在末尾为9的数的平方时则 其中nk为正整数
但 易知n2需满足十位数为偶数矛盾
解2完全平方数除以四余数为0或1而根据除以四余数性质一个数除以四的余数=这个数末两位除以四的余数可得这串数除以四余数为3矛盾所以这串数中没有完全平方数
例4
用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数
解设由300个2和若干个0组成的数为A则其数字和为600
3|600 ∴3|A
此数有3的因数故9|A但9|600∴矛盾故不可能有完全平方数
例5
试求一个四位数它是一个完全平方数并且它的前两位数字相同后两位数字也相同1999小学数学世界邀请赛试题
解设该四位数为1000a+100a+10b+b则
1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11100a+b
故100a+b必须被11整除=>a+b被11整除又因为(a+b)≤18
所以a+b=11
带入上式得 四位数=11×a×100+11－a =11×a×99+11 =11×11×9a+1)
故9a+1必须为完全平方数 由a=23456789验证得 9a+1=19282746556473 所以只有a=7一个解此时b=4 因此四位数是7744=112×82=88×88
例6
求满足下列条件的所有自然数
⑴它是四位数
⑵被22除余数为5
⑶它是完全平方数
解设其中n,N为自然数可知N为奇数
11|N - 5或11|N + 6
或
n = 1 不合
n = 2 1369
n = 3 3481 2601
n = 4 6561 5329
n = 5 9025
所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025
例7
矩形四边的长度都是小于10的整数单位公分这四个长度数可构成一个四位数这个四位数的千位数字与百位数字相同并且这四位数是一个完全平方数求这个矩形的面积1986年缙云杯初二数学竞赛题
解设千位与百位的数字为A,十位与个位数字为B
则该四位数为1000A+100A+10B+B=11*(100A+B)且为完全平方数
所以100A+B能被11整除=>A+B能被11整除又因为A+B≤18
故A+B=11
易知100A+B除以11后得数为完全平方数,且各个数位之和为10
验证得该数64
所以A=7,B=4则四位数是7744
例8
求一个四位数使它等于它的四个数字和的四次方并证明此数是唯一的
重要结论
个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数
个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数
个位数是6十位数是偶数的整数一定不是完全平方数
形如3n+2型的整数一定不是完全平方数
形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数
形如5n±2型的整数一定不是完全平方数
形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数
数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数
四平方和定理每个正整数均可表示为4个整数的平方和
完全平方数的因数个数一定是奇数
两者区别
平方式和完全平方数的区别
a+b的平方=a的平方+2ab+b的平方
a-b的平方=a的平方-2ab+b的平方
完全平方式分两种一种是完全平方和公式就是两个整式的和括号外的平方另一种是完全平方差公式就是两个整式的差括号外的平方算时有一个口诀首末两项算平方首末项乘积的2倍中间放符号随中央就是把两项的乘方分别算出来再算出两项的乘积再乘以2然后把这个数放在两数的乘方的中间这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号完全平方和公式就用+完全平方差公式就用-后边的符号都用+
一个数如果是另一个整数的完全平方那么我们就称这个数为完全平方数也叫做平方数
区别完全平方式是代数式完全平方数是自然数
性质推论
例如
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…
观察这些完全平方数可以获得对它们的个位数十位数数字和等的规律性的认识下面我们来研究完全平方数的一些常用性质
性质1末位数只能是0,1,4,5,6,9
此为完全平方数的必要不充分条件且定义为一个数如果是另一个整数的完全平方那么我们就称这个数为完全平方数0为整数故0是完全平方数
性质2奇数的平方的个位数字一定是奇数偶数的平方的个位数一定是偶数
证明 奇数必为下列五种形式之一
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9
分别平方后得
完全平方数
完全平方数
完全平方数
完全平方数
完全平方数
综上各种情形可知奇数的平方个位数字为奇数1,5,9十位数字为偶数
性质3如果十位数字是奇数则它的个位数字一定是6反之也成立
证明 已知
证明k为奇数因为k的个位数为6所以m的个位数为4或6于是可设m=10n+4或10n+6则
完全平方数
或
即
或
∴ k为奇数
推论1如果一个数的十位数字是奇数而个位数字不是6那么这个数一定不是完全平方数
推论2如果一个完全平方数的个位数字不是6则它的十位数字是偶数
性质4偶数的平方是4的倍数奇数的平方是4的倍数加1
这是因为
完全平方数
性质5奇数的平方是8n+1型偶数的平方为8n或8n+4型
奇数n比那个所乘的数-1偶数奇数n比那个所乘的数-2
在性质4的证明中由k(k+1一定为偶数可得到
是8n+1型的数由为奇数或偶数可得2k)2为8n型或8n+4型的数性质6形式必为下列两种之一3k,3k+1
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类3m,3m+1,3m+2平方后分别得
完全平方数
完全平方数
完全平方数
同理可以得到
性质7不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型是5的因数或倍数的数为5k型
性质8形式具有下列形式之一16m,16m+1,16m+4,16m+9
除了上面关于个位数十位数和余数的性质之外还可研究完全平方数各位数字之和例如256它的各位数字相加为2+5+6=1313叫做256的各位数字和如果再把13的各位数字相加1+3=44也可以叫做256的各位数字的和下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加如果得到的数字之和不是一位数就把所得的数字再相加直到成为一位数为止我们可以得到下面的命题
一个数的数字和等于这个数被9除的余数
下面以四位数为例来说明这个命题
设四位数为则
1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然a+b+c+d是四位数被9除的余数
对于n位数也可以仿此法予以证明
关于完全平方数的数字和有下面的性质
性质9数字之和只能是0,1,4,7,9
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式而
除了以上几条性质以外还有下列重要性质
性质10为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数
证明 充分性设b为平方数则=(ac)
必要性若为完全平方数=则
性质11如果质数p能整除a但p的平方不能整除a则a不是完全平方数
证明 由题设可知a有质因数p但无因数可知a分解成标准式时p的次方为1而完全平方数分解成标准式时各质因数的次方均为偶数可见a不是完全平方数
性质12在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数
即若
则k一定不是整数
性质13一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数包括1和n本身
讨论题
1986年第27届IMO试题 设正整数d不等于2,5,13求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a,b使得ab -1不是完全平方数
求k的最大值使得可以表示为k个连续正整数之和
某校2001年的学生人数是个完全平方数该校2002年的学生人数比上一年多101人这个数字也是完全平方数该校2002年学生人数是多少