基本定义
顶点在圆周上，并且两边为圆的两条弦的角叫做圆周角（angle in a circular segment）（Inscribed Angle）。圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。[1]
定理推论
圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。圆周角
证明略（分类思想，3种，半径相等）
①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。[2]）
④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
⑥在同圆或等圆中，圆周角相等<=>弧相等<=>弦相等。
⑦在一个圆中，一条弦对两个圆周角。
命题证明
命题1: 在圆中作弦MN，于直线MN同侧取点A、B、C，使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与点M、N连结，则有∠A>∠B>∠C。
（图略，证明：三角形一外角等于不相邻两内角和.)
命题2: 顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半；顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半。
证明：命题2的证明如图，过C作CE//AB，交圆于E，
则有∠P=∠DCE，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）
而∠DCE的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD－弧BE=弧BD－弧AC
所以∠DCE的度数等于“弧BD－弧AC”的一半
即“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半” 另外也可以连接BC，则∠P=∠BCD－∠B
∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半
∠B的度数等于弧AC的度数的一半
同样得“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”
圆内角的证明完全类似：
过C作CE//AB，交圆于E，
则有∠APC=∠C，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）
而∠C的度数等于弧DE的一半，
弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC
所以∠APC的度数等于“弧BD+弧AC”的一半
即“顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数和的一半”
另外也可以连接BC进行证明
例题讲解
已知：如图，AB是⊙O的直径，AC、AD为 弦，且AD平分∠BAC，若AB=10，AC= 6，
求AD的长.
解：连结BD并延长交AC的延长线于点E，连结BC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
∴BC⊥AE，AD⊥BE
又∵AD平分∠BAC
∴AE=AB，DE=BD
∵AB= 10，AC= 3
∴CE= AE-AC= 2，
在Rt△ABC中 BC=4
在Rt△BCE中，BE=2√5
∴BD=2√5
在Rt△ABD中，
∴AD= 2√5