基本定义
一般地把形如y=ax2+bx+c其中abc是常数a≠0bc可以为0的函数叫做二次函数其中a称为二次项系数b为一次项系数c为常数项x为自变量y为因变量等号右边自变量的最高次数是2顶点坐标
交点式为仅限于与x轴有交点的抛物线与x轴的交点坐标是和注意变量不同于自变量不能说二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数未知数只是一个数具体值未知但是只取一个值变量可在实数范围内任意取值在方程中适用未知数的概念函数方程微分方程中是未知函数但不论是未知数还是未知函数一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况但是函数中的字母表示的是变量意义已经有所不同从函数的定义也可看出二者的差别如同函数不等于函数的关系[1-2]
描点法
在初中数学中要求采用描点法画出二次函数图像
其做法与五点法类似以
为例1列表
| x | …… | -1 | -0.5 | 0 | 1 | 2 | 2.5 | 3 | …… |
| …… | 7 | 3.5 | 1 | -1 | 1 | 3.5 | 7 | …… |
先取顶点用虚线画出对称轴取与x轴两个交点如果存在yy=2(x-1)^2-1
轴交点及其对称点如果存在和另外两点及其对称点Ps.原则上相邻x的差值相等但远离顶点的点可以适当减小差值
2依据表格数据绘制函数图像,如图
函数图象
基本图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像可以看出在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线 如果所画图形准确无误那么二次函数图像将是由
平移得到的轴对称
二次函数图像
二次函数图像是轴对称图形对称轴为直线对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P
特别地当b=0时二次函数图像的对称轴是y轴即直线x=0是顶点的横坐标即x=
a,b同号对称轴在y轴左侧
a,b异号对称轴在y轴右侧
顶点
二次函数图像有一个顶点P坐标为P(h,k)
当h=0时P在y轴上当k=0时P在x轴上即可表示为顶点式y=a(x-h)2+kx≠0
,开口
二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小
当a>0时二次函数图象向上开口当a<0时抛物线向下开口
|a|越大则二次函数图像的开口越小
决定位置因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置
当a>0,与b同号时即ab>0对称轴在y轴左 因为对称轴在左边则对称轴小于0也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0所以ab要同号
当a>0,与b异号时即ab<0对称轴在y轴右因为对称轴在右边则对称轴要大于0也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0所以ab要异号
可简单记忆为左同右异即当a与b同号时即ab>0对称轴在y轴左当a与b异号时即ab<0 对称轴在y轴右
事实上b有其自身的几何意义二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式一次函数的斜率k的值可通过对二次函数求导得到
决定交点因素
常数项c决定二次函数图像与y轴交点
二次函数图像与y轴交于0,C点
注意顶点坐标为h,k) 与y轴交于0,C)
与x轴交点数
a<0;k>0或a>0;k<0时二次函数图像与x轴有2个交点
k=0时二次函数图像与x轴只有1个交点
质疑点a<0;k<0或a>0,k>0时二次函数图像与x轴无交点
当a>0时函数在x=h处取得最小值
=k在x当a<0时函数在x=h处取得最大值
=k在x当h=0时抛物线的对称轴是y轴这时函数是偶函数
函数图象
对称关系
对于一般式
①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称
②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称
③y=ax2+bx+c与
关于顶点对称④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称即绕原点旋转180度后得到的图形
对于顶点式
①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称即顶点(h, k)和(-h, k)关于y轴对称横坐标相反纵坐标相同
②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称即顶点(h, k)和(h, -k)关于x轴对称横坐标相同纵坐标相反
③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称即顶点(h, k)和(h, k)相同开口方向相反
④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称即顶点(h, k)和(-h, -k)关于原点对称横坐标纵坐标都相反
其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况
五点法
五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法
注明虽说是草图但画出来绝不是草图
五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点分别为顶点与x轴交点与y轴交点及其对称点
Ps.仅是草图正规考试会扣分
表达式
顶点式
y=a(x-h)?+k(a≠0,ahk为常数),顶点坐标为h,k) 对称轴为直线x=h顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax?的图像相同当x=h时y最小值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式
例已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)求y的解析式
解设y=a(x-1)?+2把(3,10)代入上式解得y=2(x-1)?+2
注意与点在平面直角坐标系中的平移不同二次函数平移后的顶点式中h>0时h越大图像的对称轴离y轴越远且在x轴正方向上不能因h前是负号就简单地认为是向左平移
具体可分为下面几种情况
当h>0时y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向右平行移动h个单位得到
当h<0时y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位得到
当h>0,k>0时将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位再向上移动k个单位就可以得到y=a(x-h)?+k的图象
当h>0,k<0时将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象
当h<0,k>0时将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象
当h<0,k<0时将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象
交点式
[仅限于与x轴即y=0有交点时的 二次函数(16张)抛物线即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设,然后把第三点代入xy中便可求出a 由一般式变为交点式的步骤 (韦达定理)重要概念abc为常数a≠0且a决定函数的开口方向a>0时开口方向向上a<0时开口方向向下a的绝对值可以决定开口大小a的绝对值越大开口就越小a的绝对值越小开口就越大
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数
(y为截距)二次函数表达式的右边通常为二次三项式欧拉交点式
若ax?+bx+c=0有两个实根x1,x2则
此抛物线的对称轴为直线三点式
方法1
已知二次函数上三个点(x1, y1)(x2, y2)(x3, y3)把三个点分别代入函数解析式y=a(x-h)?+k(a≠0,ahk为常数)有
得出一个三元一次方程组就能解出abc的值
方法2
已知二次函数上三个点(x1, y1)(x2, y2)(x3, y3)
利用拉格朗日插值法可以求出该二次函数的解析式为
与X轴交点的情况:
当
时函数图像与x轴有两个交点分别是(x1, 0)和(x2, 0)当
时函数图像与x轴只有一个切点即当
时抛物线与x轴没有公共交点x的取值范围是虚数方程关系
特别地二次函数以下称函数
,当y=0时二次函数为关于x的一元二次方程以下称方程即
此时函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根
1二次函数y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c(各式中a≠0)的图象形状相同只是位置不同它们的顶点坐标及对称轴如下表
y=ax2(00) x=0
再向上移动k个单位就可得到y=a(x+h)2+kh<0,k>0的图像
当h<0,k<0时将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位再向下移动|k|个单位就可得到y=a(x+h)2+kh<0,k<0的图像
在向上或向下向左或向右平移抛物线时可以简记为上加下减左加右减
因此研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像通过配方将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式可确定其顶点坐标对称轴抛物线的大体位置就很清楚了这给画图像提供了方便
2抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像当a>0时开口向上当a<0时开口向下对称轴是直线x=-b/2a顶点坐标是(-b/2a[4ac-b?]/4a)
3抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)若a>0当x ≤ -b/2a时y随x的增大而减小当x ≥ -b/2a时y随x的增大而增大若a<0当x ≤ -b/2a时y随x的增大而增大当x ≥ -b/2a时y随x的增大而减小
4抛物线y=ax2+bx+c的图像与坐标轴的交点
(1)图像与y轴一定相交交点坐标为(0, c)
(2)当
时图像与x轴交于两点A(x1, 0)和B(x2, 0)其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根这两点间的距离另外抛物线上任何一对对称点的距离可以由A为其中一点的横坐标当
时图像与x轴只有一个切点当
时图像与x轴没有公共点当a>0时图像落在x轴的上方x为任何实数时都有y>0当a<0时图像落在x轴的下方x为任何实数时都有y<05抛物线y=ax2+bx+c的最值如果a>0则当
时如果a<0则当时顶点的横坐标是取得最值时的自变量值顶点的纵坐标是最值的取值
6用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知xy的三对对应值时可设解析式表达式为一般形式
(a≠0)(2)当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴或极大小值时可设解析式为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
(3)当题给条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时可设解析式为两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
学习方法
知识要点
1.要理解函数的意义
2.要记住函数的几个表达形式注意区分
3.一般式顶点式交点式等区分对称轴顶点图像y随着x的增大而减小增大(增减值等的差异性
4.联系实际对函数图象的理解
5.计算时看图像时切记取值范围
6.随图象理解数字的变化而变化 二次函数考点及例题
二次函数知识很容易与其他知识综合应用而形成较为复杂的综合题目因此以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题往往以大题形式出现
误区提醒
1对二次函数概念理解有误漏掉二次项系数不为0这一限制条件
2对二次函数图像和性质存在思维误区
3忽略二次函数自变量取值范围
4平移抛物线时弄反方向
定义与表达式
一般地自变量x和因变量y之间存在如下关系
y=ax?+bx+c
abc为常数a≠0且a决定函数的开口方向a>0时开口方向向上a<0时开口方向向下IaI还可以决定开口大小IaI越大开口就越小IaI越小开口就越大.
则称y为x的二次函数
二次函数表达式的右边通常为二次三项式
三种表达式
一般式y=ax?+bx+cabc为常数a≠0
顶点式y=a(x-h)?+k[抛物线的顶点P(h, k)]
交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点Ax10和Bx20的抛物线]
注在3种形式的互相转化中有如下关系
,,抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形对称轴为直线
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P
特别地当b=0时抛物线的对称轴是y轴即直线x=0
2.抛物线有一个顶点P坐标为
当
时P在y轴上当时P在x轴上3.二次项系数a决定抛物线的开口方向|a|决定抛物线开口大小
当a>0时抛物线开口向上当a<0时抛物线开口向下
|a|越大则抛物线的开口越小
4.一次项系数b和二次项系数a有1个交点
5.常数项c决定抛物线与y轴交点
抛物线与y轴交于0c
抛物线与x轴
交点个数
Δ=b?-4ac>0时抛物线与x轴有2个交点
Δ=b?-4ac=0时抛物线与x轴有1个交点
Δ=b?-4ac<0时抛物线与x轴没有交点
函数性质
1.二次函数是抛物线但抛物线不一定是二次函数开口向上或者向下的抛物线才是二次函数抛物线是轴对称图形不是中心对称图形对称轴为直线
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P特别地当b=0时抛物线的对称轴是y轴即直线x=02.抛物线有一个顶点P坐标为P
当时P在y轴上当时P在x轴上3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a>0时抛物线向上开口当a<0时抛物线向下开口|a|越大则抛物线的开口越小|a|越小则抛物线的开口越大
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时即ab>0对称轴在y轴左当a与b异号时即ab<0对称轴在y轴右可巧记为左同右异
5.常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于(0, c
6.抛物线与x轴交点个数
时抛物线与x轴有2个交点时抛物线与x轴有1个交点当时抛物线与x轴没有交点当
时函数在处取得最小值在 上是减函数在上是增函数抛物线的开口向上函数的值域是当
时函数在处取得最大值在上是增函数在上是减函数抛物线的开口向下函数的值域是当
时抛物线的对称轴是y轴这时函数是偶函数解析式变形为y=ax?+c(a≠0)7.定义域R
值域当a>0时值域是
当a<0时值域是奇偶性当b=0时此函数是偶函数当b不等于0时此函数是非奇非偶函数
周期性无
解析式
①一般式
⑴a≠0
⑵若a>0则抛物线开口朝上若a<0则抛物线开口朝下
⑶顶点
⑷若Δ>0则函数图像与x轴交于两点
和若Δ=0则函数图像与x轴切于一点
若Δ<0函数图像与x轴无公共点
②顶点式
此时顶点为h,t) 此时对应顶点为其中,③交点式
函数图像与x轴交于
和两点历史
在大约前480年古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根但是并没有提出通用的求解方法前300年左右欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程它同时容许有正负数的根
11世纪阿拉伯的花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解亚伯拉罕·巴希亚亦以拉丁文名字萨瓦索达著称在他的著作Liber embadorum中首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一但这一点在他的时代存在着争议这个求解规则是引自婆什迦罗第二
常用工具
几何画板软件基础代数几何必备几何画板画出的抛物线图象
注意左加右减上加下减