学习方法
知识要点
1.要理解函数的意义。
2.联系实际对函数图像的理解。
3.随图像理解数字的变化而变化。
误区提醒
1.对一次函数概念理解有误，漏掉一次项系数不为0这一限制条件；
2.对一次函数图象和性质存在思维误区；
3.忽略一次函数自变量取值范围；(有时x∈Z ,其图像表现为非连续性的点的集合）
4.对于一次函数中，把自变量认为不能等于零。
解析式
一次函数的解析式为：
其中k是比例系数，不能为0；x表示自变量。且k和b均为常数。
特殊位置关系
当平面直角坐两一次函数平行
标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）。
关于平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数的证明：
如图，这2个函数互相垂直，但若直接证明，存在困难，不易理解，
如果平移平面直角坐标系，使这2个函数的交点交于原点，就会更简单。
就像这一样，
可以设这2个函数的表达式分别为；
y=ax, y=bx.
在x正半轴上取一点（z,0)（便于计算），做与y轴平行的直线,如图，
可知OC=z,AC=a*z,BC=b*z,由
勾股定理可得：
OA=√z^2+(a*z)^2
,OB=√z^2+(b^z)^2
又有OA^2+OB^2=AB^2,得
z^2+(az)^2+z^2+(bz)^2=(az-bz)^2 (因为b小于0，故为az-bz）
化简得：
z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^2
2z^2=-2ab*z^2
ab=-1
即k=-1
所以两个K值的乘积为-1
注意：与y轴平行的直线没有函数解析式，与x轴平行的直线的解析式为常函数，故上述性质中这两种直线除外。
两一次函数垂直
表示方法
1、解析式法
用含自变量x的式子表示函数的方法。
2、列表法
把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。
3、图像法
用图像来表示函数关系的方法叫做图像法。
函数的应用
概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。
常用公式：
1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)，即k=tanα（α为直线与x轴正方向的夹角）
2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2
4.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，令y1=y2，得k1x+b1=k2x+b2。将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1，y2=k2x+b2两式的任一式，得到y=y0，则(x0, y0)即为 y1=k1x+b1与y2=k2x+b2之交点坐标。
6.求任意2点所连线段的中点坐标：( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 )
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) （若分母为0，则分子为0）
(x,y)为 +，+（正，正）时该点在第一象限
(x,y)为 -，+（负，正）时该点在第二象限
(x,y)为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
(x,y)为 +，-（正，负）时该点在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相平行，则k1=k2，b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1，y2=k2x+b2互相垂直，则k1×k2=-1
10.
设原直线为y=f(x)=kx+b
y=f(x-n)=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
y=f(x+n)=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位一次函数的平移
y=f(x)+n=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=f(x)-n=kx+b-n就是向下平移n个单位
口决：左加右减相对于X，上加下减相对于b。
11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0)，与y轴的交点：(0，b)
生活中的应用
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）。
常见题型
常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。
一. 定义型
例1. 已知函数
是一次函数，求其解析式。解：由一次函数定义知
，，，故一次函数的解析式为y=-6x+3。注意：利用定义求一次函数y=kx+b解析式时，要保证k≠0。如本例中应保证m-3≠0。
二. 点斜型
例2. 已知一次函数y=kx-3的图像过点(2, -1)，求这个函数的解析式。
解： 一次函数 的图像过点(2, -1)，
，即k=1。故这个一次函数的解析式为y=x-3。变式问法：已知一次函数y=kx-3 ，当x=2时，y=-1是，求这个函数的解析式。
三. 两点型
例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是(-2, 0)、(0, 4)，则这个函数的解析式为_____。
解：设一次函数解析式为y=kx+b
由题意得
，故这个一次函数的解析式为y=2x+4.
四. 图像型
例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
解：设一次函数解析式为y=kx+b由图可知一次函数 的图像过点(1, 0)、(0, 2)
有所以k=-2
b=2
故这个一次函数的解析式为y=-2x+2.
五. 斜截型
例5. 已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。
解析：两条直线
；。当k1=k2 ，b1≠b2时， 直线y=kx+b与直线y=-2x平行，。又直线y=kx+b在y轴上的截距为2，故直线的解析式为y=-2x+2.六. 平移型
例6. 把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
解析：设函数解析式为 y=kx+b，
直线y=2x+1向下平移2个单位得到的直线y=kx+b与直线y=2x+1平行直线y=kx+b在y轴上的截距为 b=1-2=-1，故图像解析式为
.七. 实际应用型
例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。
解：由题意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20
故所求函数的解析式为 Q=-0.2t+20（
）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围，别忘了考虑变量存在等于0的情况。
八. 面积型
例8. 已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。
解：易求得直线与x轴交点为
，所以 ，所以|k|=2 ，即故直线解析式为y=2x-4或y=-2x-4
九. 对称型
若直线
与直线y=kx+b关于（1）x轴对称，则直线
的解析式为y=-kx-b；（2）y轴对称，则直线
的解析式为y=-kx+b；（3）直线y=x对称，则直线
的解析式为；（4）直线y=-x对称，则直线
的解析式为；（5）原点对称，则直线
的解析式为y=kx-b.例9. 若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。
解：由（2）得直线l的解析式为y=-2x-1
十. 开放型
例10. 已知函数的图像过点A(1, 4)，B(2, 2)两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。
解：
（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得y=-2x+6
（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线
，解析式为
（3）其它（略）
十一. 几何型
例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴
上的两点，，，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为(0, 3)。（1）求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点E、F的一次函数的解析式。解：（1）由直角三角形的知识易得点A(-3√3, 0)、B(√3, 0)，由待定系数法可求得二次函数解析式为
，对称轴是x=-√3 （2）连结OE、OF，则、。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E、F，由待定系数法可求得一次函数解析式为十二. 方程型
例12. 若方程x2+3x+1=0的两根分别为
，求经过点P和Q的一次函数图像的解析式解：由根与系数的关系得
点P(11, 3)、Q(-11, 11)设过点P、Q的一次函数的解析式为y=kx+b
则有
解得
故这个一次函数的解析式为
十三. 综合型
例13. 已知抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D在双曲线
上，直线y=kx+c经过点D和点C(a, b)且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组，求这条直线的解析式。解：由抛物线y=(9-m2)x2-2(m-3)x+3m的顶点D
在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：y1=-7x2+14x-12，顶点D1(1, -5)及y2=-27x2+18x-18
顶点D2
解方程组得
，即C1(-1, -4)，C2(2, -1)
由题意知C点就是C1(-1, -4)，所以过C1、D1的直线是
；过C1、D2的直线是典型例题
函数问题1
已知正比例函数 ，则当k≠0时，y随x的增大而减小。
解：根据正比例函数的定义和性质，得 k<0。
函数问题2
已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1 解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。 故选A。 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0，从而b<0。 故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A . 一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。如果挂各种形式的一次函数函数问题3
函数问题4
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12
解之，k=0.5
∴y与x的函数关系式为y=0.5x+12
由题意，得：23=0.5x+12x=22
解之，x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
函数问题5
某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？
此题要考虑X的范围
解:设总费用为Y元，刻录X张
则电脑公司：Y1=8X 学校 ：Y2=4X+120
当X=30时，Y1=Y2
当X>30时，Y1>Y2
当X<30时，Y1 （1）y与x成正比例函数，当 y=5时，x=2.5，求这个正比例函数的解析式. （2）已知一次函数的图象经过A（－1，2）和B（3，－5）两点，求此一次函数的解析式. 解：（1）设所求正比例函数的解析式为 y=kX 把 y=5，x=2.5代入上式 得 ，5=2.5k 解之，得k=2 ∴所求正比例函数的解析式为 y=2X （2）设所求一次函数的解析式为y=kx+b ∵此图象经过A（－1，2）、B（3，－5）两点，此两点的坐标必满足y=kx+b ，将x=-1 、y=2和x=3、y=-5 分别代入上式，得 2=-k+b,-5=3k+b 解得 k=-7/4,b=1/4 ∴此一次函数的解析式为y=-7x/4+1/4 点评：（1） 不能化成带分数.（2）所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列几个方程. 拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，指出自变量t的取值范围，并且画出图象. 分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量. 解： 函数关系式：Q=20-5t，其中t的取值范围：0≤t≤4。 图象是以（0，20）和（4，0）为端点的一条线段（图象略）。 点评：注意函数自变量的取值范围.该图象要根据自变量的取值范围而定，它是一条线段，而不是一条直线. 已知一次函数的图象经过点P（－2，0），且与两坐标轴截得的三角形面积为3，求此一次函数的解析式. 分析：从图中可以看出，过点P作一次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进行研究，这就是分类讨论的数学思想方法. 解：设所求一次函数解析式为 ∵点P的坐标为（－2，0） ∴|OP|=2 设函数图象与y轴交于点B（0，m） 根据题意，SΔPOB=3 ∴|m|=3 ∴一次函数的图象与y轴交于B1（0，3）或B2（0，－3） 将P（－2，0）及B1（0，3）；或P（－2，0）及B2（0，－3）的坐标代入y=kx+b中，得 -2k+b=0，b=3； 或-2k+b=0，b=-3。 解得 k=1.5，b=3；或k=-1.5，b=-3。 ∴所求一次函数的解析式为 y=1.5x+3或y=-1.5-3。 点评：（1）本题用到分类讨论的数学思想方法.涉及过定点作直线和两条坐标轴相交的问题，一定要考虑到方向，是向哪个方向作.可结合图形直观地进行思考，防止丢掉一条直线.（2）涉及面积问题，选择直角三角形两条直角边乘积的一半，结果一定要得正值. 考点指要 一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法. 如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。 解：如图示求此函数解析式． 考点指要 此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k>0，则y随x的增大而增大；若k<0，则y随x的增大而减小。 选择题： 1. 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（ ） A.k≠0 B.k<0 C.k>0 D.k为任意值 2. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（ ） A.y=5x B.y=4x C.y=20-5x D.无法确定 3. （北京市）一次函数y=x+3 的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 综合测试答案 1.C 2.C 3.D 一次函数的图象与性质 1.列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。 2.描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。 一般地，y=kx+b（k≠0）的图象过(0, b)和(-b/k, 0)两点即可画出。 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取(0, 0)和(1, k)两点画出即可。 3.连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。 1．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0, b)。 2．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。 3．对于正比例函数，y除以x的商是一定数（x≠0）。对于反比例函数，x与y的积是一定数。 4．在两个一次函数表达式中： 当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合； 当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行； 当两个一次函数表达式中的k不相同，b也不相同时，则这两个一次函数的图像相交； 当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）； 当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。 5．两个一次函数(y1=ax+b, y2=cx+d)之比，得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。 6.直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0,b>0经过第一、二、三象限 k>0,b<0经过第一、三、四象限 k>0,b=0经过第一、三象限 k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0b>0经过第一、二、四象限 k<0,b<0经过第二、三、四象限 k<0,b=0经过第二、四象限 k<0图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 函数和方程 1、从形式上看：一次函数y=kx+b， 一元一次方程ax+b=0 。 2、从内容上看：一次函数表示的是一对(x, y)之间的关系，它有无数对值；一元一次方程表示的是未知数x的值，最多只有1个值 。 3、相互关系：一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。 例如：y=4x+8与x轴的交点是(-2, 0)、则一元一次方程4x+8=0的根是x=-2。 函数和不等式 解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。 对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为(-b/k, 0)。 当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>-b/k，不等式kx+b<0的解为：x<-b/k； 当k<0的解为：不等式kx+b>0的解为：x<-b/k，不等式kx+b<0的解为：x>-b/k。 与二元一次方程的关系 (1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图像与一次函数y=(-a/b)x+c/b的图像相同。 (2)二元一次方程组a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数y=(-a1/b1)x+c1/d1和y=(-a2/b2)x+c2/d2的图像的交点。 方法小结 把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图像,找出两图像的交点,即可知方程组的解。 区别 二元一次方程有两个未知数，而一次函数只是说未知数的次数为一次，并未限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种。 （1）在平面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上。如方程2x+y=5有无数组值，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以这些解为坐标的点(1, 3)，(2, 1)…都在一次函数y=-2x+5的图象上。 （2）在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程。如在一次函数y=-x+2的图象上任取一点(3, -1)，则x=3，y=-1一定是二元一次方程x+y=2的一组解。 函数的由来 “函数”一词最初是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪首先采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，即x2，x3，….接下来莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等所有与曲线上的点有关的变量.就这样“函数”这词逐渐盛行。 在中国，古时候的人将“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，清代数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国的古代人还用“天、地、人、物”4个字来表示4个不同的未知数或变量，显然，在李善兰的这个定义中的含义就是“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.”这样，在中国“函数”是指公式里含有变量的意思。 瑞士数学家雅克·柏努意给出了和莱布尼茨相同的函数定义.1718年，雅克·柏努意的弟弟约翰·柏努意给出了函数了如下的函数定义：由任一变数和常数的任意形式所构成的量叫做这一变数的函数.换句话说，由x和常量所构成的任一式子都可称之为关于x的函数。 1775年，欧拉把函数定义为：“如果某些变量：以某一种方式依赖于另一些变量.即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”由此可以看到，由莱布尼兹到欧拉所引入的函数概念，都还是和解析表达式、曲线表达式等概念纠缠在一起。 首屈一指的法国数学家柯西引入了新的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的值也可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其它各变数则称为‘函数’”.在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词。 1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每一个x都有确定的值，并且随着x一起变化.函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法.函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的”.这个定义指出了对应关系。即条件的必要性，利用这个关系以求出每一个x的对应值。 1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。” 德国数学家黎曼引入了函数的新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定了的值与之对应，而不拘建立x，y之间的对应方法如何，均将y称为x的函数。” 上面函数概念的演变，我们可以知道，函数的定义必须抓住函数的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式。 由此，就有了我们课本上的函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。函数问题6
函数问题7
函数问题8
函数问题9
综合测试
图像
基本性质
其它相关