函数图象
概述
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）,反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
图象画法
1）列表
x | ... | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... |
| y | -4 | -6 | -12 | 12 | 6 | 4 | 3 |
如
2）在平面直角坐标系中标出点。
3）用平滑的曲线连接点。
当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。
当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。
当两个数相等时那么曲线呈弯月型。
反比例函数的图象与性质
k的意义及应用
过反比例函数 （k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积
。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为
研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积 。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
推论
内容：一次函数y=x+b或y=-x+b若与反比例函数
存在两个交点，若设2点的横坐标分别为，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为。
基本信息
函数定义
一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成(k为常数，k≠0）?，其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k大于0时，图像在一、三象限。k小于0时，图像在二、四象限.k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
表达式
x是自变量，y是因变量，y是x的函数
（即：y等于k乘x的-1次方）
(k为常数且k≠0，x≠0）
自变量的取值范围
① 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是 不等于0的任意实数；
②函数 y 的取值范围也是任意非零实数。
解析式
其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数，
即 {x|x≠0,x∈R}。R是实数范围。也就是x是实数}。
下面是一些常见的形式：
（k为常数(k≠0），x不等于0）
典型题目
1、已知一次函数y=-x+6和反比例函数
（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？
（2）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。
解（1）一次函数y=-x+6和反比例函数
（k不等于零）有两个交点，即化简的有两个交点 则方程有两个不同的解即
所以k<9且k不等于0
（2）当0<9时 两交点在第一象限所以∠AOB是锐角 当k<0时 两交点分别在第二和第四象限所以∠AOB是钝角。<9时>
2、已知函数
（1）当m为何值时，y是x的正比例函数?
（2）当m为何值时，y是x 的反比例函数？
解（1）正比例函数则x次数是1
(m-2)(m+1)=0
反比例函数题目m=2,m=-1
系数不等于0
m-1≠0
所以m=2,m=-1
（2）反比例函数则x次数是-1
m(m-1)=0
m=0,m=1
系数不等于0
m-1≠0
所以舍去m=1
因此m=0
3、一矩形的面积为24
则该矩形的长x cm与宽y cm之间的关系是什么?请写出函数表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。
解 面积xy=24
函数表达式
(x>0)
矩形的各边长均为整数
可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24
概念理解
(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图象。
当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数
当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。
重点知识
过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/（x±m），m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）
函数性质
单调性
当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性
因为y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
面积
在一个反比例函数图像上任取两点，过点，分别作x轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k| ，
反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，交于 、 ，则QOWM（ 为原点）的面积为 ，则连接该矩形的对角线即连接OM,则
RT△OMQ的面积=?|k|
图像表达
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
反比例函数图像不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。
k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
对称性
反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。所以，它的图象的对称轴是：如果图象在一、三象限，则对称轴为二、四象限的角平分线Y=-X，如果图象在二、四象限，则对称轴为一、三象限的角平分线Y=X。
图像关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。
与正比例函数交点
设在平面内有反比例函数和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点。
应用举例
例1
反比例函数 的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程
的两根双曲线，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式
分析：
要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程
反比例函数 k的取值范围解：∵ m, n是关于t的方程的两根双曲线
∴ m+n=-3，mn=k,
又 PO= ∴ 9-2k=13．∴ k=-2当 k=-2时， =9+2>0，∴ k=-2符合条件，∴该反比例函数的解析式为mn=-2.
例2
直线与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：
（1）求双曲线的解析式
分析：矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，
设A点坐标为（m,n），则AB=|n|, AC=|m|，
根据矩形的面积公式知|m·n|=6
由已知条件知，该双曲线位于第二、四象限，因此，A点坐标值异号，即双曲线的解析式为mn=-6
知识与概念
概念理解
形如(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有
，图像关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图象。
当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数
当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。
重点知识
过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
对于双曲线，若在分母上加减任意一个实数(，m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）