定义
多项式
在数学中多项式polynomial是指由变量系数以及它们之间的加减乘指数正整数次运算得到的表达式
对于比较广义的定义1个或0个单项式的和也算多项式按这个定义多项式就是整式实际上还没有一个只对狭义多项式起作用对单项式不起作用的定理0作为多项式时次数为正无穷大单项式和多项式统称为整式
多项式中不含字母的项叫做常数项如5X+6中的6就是常数项
运算法则
加法与乘法
有限的单项式之和称为多项式不同类的单项式之和表示的多项式其中系数不为零的单项式的最高次数称为此多项式的次数
多项式的加法,是指多项式中同类项的系数相加字母保持不变(即合并同类项)多项式的乘法,是指把一个多项式中的每个单项式与另一个多项式中的每个单项式相乘之后合并同类项
F上x1x2…xn的多项式全体所成的集合Fx1,x2…,xn对于多项式的加法和乘法成为一个环是具有单位元素的整环
域上的多元多项式也有因式分解惟一性定理
带余除法
若 ?x和exo是Fx中的两个多项式且exo不等于0则在F[x]中有唯一的多项式 q(x)和r(x)满足?(x)=q(x)g(x)+r(x)其中r(x)的次数小于g(x)的次数此时q(x) 称为g(x)除?(x)的商式r(x)称为余式当g(x)=x-α时则r(x)=?(α)称为余元式中的α是F的元素此时带余除法具有形式?(x)=q(x)(x-α)+?(α)称为余元定理g(x)是?(x)的因式的充分必要条件是g(x)除?(x)所得余式等于零如果g(x)是?(x)的因式那么也称g(x) 能整除?(x)或?(x)能被g(x)整除特别地,x-α是?(x)的因式的充分必要条件是?(α)=0这时称α是?(x)的一个根
如果d(x)既是?(x)的因式又是g(x)的因式,那么称d(x)是?(x)与g(x)的一个公因式如果d(x)是?(x)与g(x)的一个公因式并且?(x)与g(x)的任一个因式都是d(x)的因式那么称d(x)是?(x)与g(x)的一个最大公因式如果?(x)=0那么g(x)就是?(x)与g(x)的一个最大公因式当?(x)与g(x)全不为零时可以应用辗转相除法来求它们的最大公因式
辗转相除法
已知一元多项式环F[x] 中两个不等于零的多项式?(x)与g(x)用g(x)除?(x)得商式q1(x)余式r1(x)若r1(x)=0则g(x)就是?(x)与g(x)的一个最大公因式若 r1(x)≠0则用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)余式r2(x)若r2(x)=0,则r1就是?(x)与g(x)的一个最大公因式否则,如此辗转相除下去,余式的次数不断降低,经有限s次之后必有余式为零次即零次多项式或余式为零即零多项式若最终余式结果为零次多项式则原来f(x)与g(x)互素若最终余式结果为零多项式则原来f(x)与g(x)的最大公因式是最后一次带余除法的是除式
利用辗转相除法的算法可将?(x)与g(x)的最大公因式rs(x)表成?(x)和g(x)的组合,而组合的系数是F上的多项式
如果?(x)与g(x)的最大公因式是零次多项式那么称?(x)与g(x)是互素的最大公因式和互素概念都可以推广到几个多项式的情形
如果F[x]中的一个次数不小于1的多项式?(x),不能表成 F[x] 中的两个次数较低的多项式的乘积那么称?(x)是F上的一个不可约多项式
任一多项式都可分解为不可约多项式的乘积
形如 Pn(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(1)x+a(0)的函数叫做多项式函数它是由常数与自变量x经过有限次乘法与加法运算得到的显然当n=1时其为一次函数y=kx+b当n=2时其为二次函数y=ax^2+bx+c
定理
基本定理
代数基本定理是指所有一元 n 次复数多项式都有 n 个复数根
高斯引理
两个本原多项式的乘积是本原多项式
应用高斯引理可证如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性关于Q[x]中多项式的不可约性的判断还有艾森斯坦判别法对于整系数多项式,如果有一个素数p能整除αn-1,αn-2,…,α1,α0但不能整除αn,且p?2不能整除常数项α0那么?(x)在Q上是不可约的由此可知对于任一自然数n在有理数域上xn-2是不可约的因而对任一自然数n都有n次不可约的有理系数多项式
分解定理
F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外分解的方法是惟一的
当F是复数域C时根据代数基本定理可证C[x]中不可约多项式都是一次的因此每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积
当F是实数域R时由于实系数多项式的虚根是成对出现的即虚根的共轭数仍是根因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0
当F是有理数域Q时情况复杂得多要判断一个有理系数多项式是否不可约就较困难应用本原多项式理论可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积关于本原多项式有下述重要性质
几何特性
多项式是简单的连续函数它是平滑的它的微分也必定是多项式
泰勒多项式的精神便在于以多项式逼近一个平滑函数此外闭区间上的连续函数都可以写成多项式的均匀极限
应用
函数及根
给出多项式 f∈R[x1,...,xn] 以及一个 R-代数 A对 (a1...an)∈An我们把 f 中的 xj 都换成 aj得出一个 A 中的元素记作 f(a1...an)如此 f 可看作一个由 An 到 A 的函数
若然 f(a1...an)=0则 (a1...an) 称作 f 的根或零点
例如 f=x^2+1若然考虑 x 是实数复数或矩阵则 f 会无根有两个根及有无限个根
例如 f=x-y若然考虑 x 是实数或复数则 f 的零点集是所有 (x,x) 的集合是一个代数曲线事实上所有代数曲线由此而来
另外若所有系数为实数多项式 P(x)有复数根Z则Z的共轨复数也是根
若Px有n个重叠的根则 P(x) 有n-1个重叠根即若 P(x)=(x-a)^nQ(x)则有 a 是 P(x)的重叠根且有n-1个
插值多项式
在实际问题中往往通过实验或观测得出表示某种规律的数量关系y=F(x)通常只给出了F(x)在某些点xi上的函数值yi=F(xi),j=12…,n+1即使有时给出了函数F(x)的解析表达式倘若较为复杂也不便于计算因此需要根据给定点 xi 上的函数值F(xi),求出一个既能反映F(x)的特性,又便于计算的简单函数?(x)来近似地代替F(x),此时?(x)称为F(x)的插值函数x1,x2,…,xn+1称为插值节点求插值函数的方法称为插值法
多项式是一类简单的初等函数而且任给两组数b1,b2,…,bn+1和各不相同的 с1,с2,…,сn+1总有唯一的次数不超过n的多项式?(x)满足?(сi)=bii=12…,n+1因此在实际应用中常常取多项式作为插值函数作为插值函数的多项式称为插值多项式插值多项式在计算数学插值中最常用