方程

二元一次

人教版7年级数学下册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第九章会学到。在人教版九年级上英语讲爱因斯坦时也会涉及

定义

一般解法

消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：

代入消元

例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89②

解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7

把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7

∴x=-24/7，y=59/7

这种解法就是代入消元法。

加减消元

例：解方程组x+y=9① x-y=5②

解：①+②，得2x=14，即x=7

把x=7带入①，得7+y=9，解得y=2

∴x=7，y=2

这种解法就是加减消元法。

二元一次方程组的解有三种情况：

1.有一组解

如方程组x+y=5① 6x+13y=89②的解为x=-24/7，y=59/7。

2.有无数组解

如方程组x+y=6① 2x+2y=12②，因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。

3.无解

如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

解题步骤

解方程的依据

1.移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边；

2.等式的基本性质

性质1

等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。则：(1) a+c=b+c (2) a-c=b-c

性质2

等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。

用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。则：

a×c=b×c a÷c=b÷c

性质3

若a=b,则b=a（等式的对称性）。

性质4

若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。

3.合并同类项；

解方程的步骤

1.能计算的先计算； 2.转化——计算——结果

方程史话

大约3600年前

古埃及人写在纸草上的数学问题中，就涉及了方程中含有未知数的等式。

公元825年左右

中亚细亚的数学家阿尔－花拉子米曾写过一本名叫《对消与还原》的书，重点讨论方程的解法。

宋元时期

中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数进而建立方程。这种方法的代表作是数学家李冶写的《测圆海镜》（1248），书中所说的“立天元一”相当于“设未知数x。”所以在简称方程时，将未知数称为“元”，如一个未知数的方程叫“一元方程”。而两个以上的未知数，在古代又称为“天元”、“地元”、“人元”。

《九章算术·方程》 白尚恕 注释：“‘方’即方形，‘程’即表达相课的意思，或者是表达式。於某一问题中，如有含若干个相关的数据，将这些相关的数据并肩排列成方形，则称为‘方程’。

方程分类

一元二次

定义

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。

由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。

一般形式

(a≠0)

一般解法

一般解法有四种：

⒈公式法（直接开平方法）

⒉配方法

3.因式分解法

4.十字相乘法

十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。

例1 把?分解因式。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数(只取正因数)：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 1

╳

2 3

1×3+2×1

=5

1 3

╳

2 1

1×1+2×3

=7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)

=-5

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)

=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解?.

一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1?c1

╳

a2?c2

a1c2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

例2 把?分解因式.

分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

2 1

╳

3 -5

2×(-5)+3×1=-7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式。

解

指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把?分解因式，十字相乘法是

1 -3

╳

1 5

1×5+1×(-3)=2

所以?.

例3 把?分解因式。

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

╳

5 -4

1×(-4)+5×2=6

解?.

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。

问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.

解 (x-y)(2x-2y-3)-2

=(x-y)[2(x-y)-3]-2

=2(x-y)2-3(x-y)-2

=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

=(x-y-2)(2x-2y+1).

1 -2

╳

2 1

1×1+2×(-2)=－3

指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。

例5 x2+2x-15

分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)

(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。

=(x-3)(x+5)

总结：①?型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

②kx2+mx+n型的式子的因式分解

如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么

kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)

a b

╳

c d

1．直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如?的

方程，其解为?.

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以

此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丢解)

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c

将二次项系数化为1：x2+x=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=

当b2-4ac≥0时，x+ =±

∴x=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2=

直接开平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解为x1=,x2= .

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac<0时，无解；方程当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式?就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2-8x=-5

解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解为x1=,x2= .

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让

两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。

相关概念

方程式或简称方程，是含有未知数的等式。即：⒈方程中一定有含一个或一个以上未知数的代数式；2.方程式是等式，但等式不一定是方程。

未知数：通常设x.y.z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以。

“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似。指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项。而次数最高的项，就是方程的次数。

“解”：方程的解，是指所有未知数的总称，方程的根是指一元方程的解，两者通常可以通用。

解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，或说明方程无解的过程叫解方程。

方程中，恒等式叫做恒等方程，矛盾式叫做矛盾方程。在未知数等于某特定值时，恰能使等号两边的值相等者称为条件方程，例如 ，在 时等号成立。使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。同解方程

如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

方程的同解原理：

⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

多元一次

消元法

设方程组①：

……………………

……………………

把方程(1)×(-i1/a1)加到（i）上，再把方程(2)×(-i2/a2)加到（i）上，以此类推。(i∈N且i∈[1，m])最后，方程组变为：②

b11?x1+b12?x2+b13?x3+…+b1n?xn=c1

b22?x2+b13?x3+…+b2n?xn=c2

………………

brn?xn=cr

0=cr+1

0=0

0=0

………… (bii≠0,i=1,2,…r)

最后的许多0=0可以舍去，不影响方程的解。可以分三种情况：

（1）cr+1 ≠0

此时，满足前r各方程的任意一个解，都不能满足0=cr+1这个方程，所以②无解，所以①也无解

当cr+1=0时，又分两种情况：

（2）r=n

因为bii≠0,所以从最后一个方程可解出xn。然后代入第r-1个方程,解出xn-1。如此类推，可得出方程组②的唯一解，就是方程组①的唯一解。

（3)r<n

可把方程组该成他的同解方程组③：

b11?x1+b12?x2+b13?x3+…+b1r?xr=c1-b1,r+1 xr+1-…-b1n?xn

b22?x2+b13?x3+…+b2n?xr=c2-b2,r+1 xr+1-…-b2n?xn

………………

brr?xr=cr-br,r+1 xr+1-…-brn?xn

设等号后面的数是已知数，按照（2）的方法来解，可解得：

x1=d11?xr+1+d12?xr+2+…+d1,n-r xn

x2=d21?xr+1+d22?xr+2+…+d1,n-r xn

………………

xr=dr1?xr+1+dr2?xr+2+…+dr,n-r xn

令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1，n-r])可得方程组的全部解：

x1=d11?k1+d12?k2+…+ d1,n-r kn-r

x2=d21?k1+d22?k2+…+d1,n-r kn-r

………………

xr=dr1?k1+dr2?k2+…+dr,n-r kn-r

xr+1=k1

xr+2=k2

…………

xn=kn-r

其他解法

克莱姆法则

（此法只适用于m=n且D≠0的方程组）

设系数行列式D=∣a ij∣,Di是D把i列换成结果的行列式

那么xi=Di/D(i∈N且i∈[1，n])

矩阵和向量解法

矩阵解法即把方程组①的增广矩阵进行初等行变化。

向量解法即把方程组①改写成Ax=b的形式。

先求出方程组的特解η，然后求其对应导出组Ax=0的解ξ1，ξ2，…，ξn。

方程组的解为：η+c1ξ1+c2ξ2+…+cnξn。

教学设计

教学目标

重点难点

一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．

教学过程

一、从学生原有的认知结构提出问题

在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？

为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．

例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．

(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)

解法1：(4+2)÷(3-1)=3．

答：某数为3．

(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)

解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4．

3x-2=x+4

解：(3-1)x=2+4

2x=2+4

2x=6

x=6÷2

x=3

解之，得x=3．

答：某数为3．

纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．

我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．

本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．

二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤

例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余42500千克，这个仓库原来有多少面粉？

师生共同分析：

上述分析过程可列表如下：

解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，

x-15%x=42500

解：(1-15%)x=42500

85%x=42500

x=42500÷85%

x=50000

所以 x=50000．

答：原来有 50000千克面粉．

此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？

(还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)

教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程

(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．

依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：

(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系；用字母(如x)表示题中的未知数

(2)根据题意找出相等关系．(这是关键一步)

(3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等

(4)求出所列方程的解

(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义．

附注

一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项系数规定不等于0

n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）

一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）

一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）

n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）

n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）

方程（组）中，未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组），此类方程（组）一般有无数个解。

直线方程

(1)一般式： Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 适用于所有直线

直线l1：A1x+B1y+C1=0

直线l2：A2x+B2y+C2=0

两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2

两直线垂直时：A1A2+B1B2=0

两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2

两直线相交时：A1/A2≠B1/B2

(2)点斜式： 知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为 y-y0=k(x-x0)。当k不存在时，直线可表示为 x=x0

(3)截距式： 若直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：x/a+y/b=1。所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线 。

(4)斜截式： y=kx+b (k≠0)

(5)两点式：若直线过任意两点(x1,y1)、(x2,y2)，且 x1≠x2,y1≠y2，则直线可以表示为

(6)法线式： x·cosα+ysinα-p=0

数学术语

含有未知数的等式叫方程，这是中学中的逻辑定义，方程的定义还有函数定义法，关系定义，而含未知数的等式不一定是方程，如0x=0就不是方程，应该这样定义:

形如?的等式，其中?和?是在定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常数。

三元一次

定义

与二元一次方程类似，三个结合在一起的共含有三个未知数的一次方程。

解法

与二元一次方程类似，利用消元法逐步消元。

典型题析

某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费。某月甲用户比乙用户多缴水费16元，乙用户比丙用户多缴水费7.5元。已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲。乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?

解：设甲用水x吨，乙用水y吨，丙用水z吨

显然，甲用户用水超过了20吨

故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23

乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-9

丙缴费：0.9z

2.4x-23=1.6y-7+16

1.6y-7=0.9z+7.5

化简得

3x-2y=40……(1)

16y-9z=145……(2)

由(1)得x=(2y+40)/3

所以设y=1+3k,3<k<7

当k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7

当k=5,y=16,代入(2),z没整数解

当k=6,y=19,代入(2),z没整数解

所以甲用水22吨，乙用水13吨，丙用水7吨

甲用水29.8元,乙用水13.8元，丙用水6.3元</CA>

基本信息

词目：方程

拼音：fāng chéng

[equation] 表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等的一种式子,通常在两者之间有一等号(=)

是含有未知数的等式。如：x－2=5，x+8=y－3。使等式成立的未知数的值称的“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。方程在学习中有着至关重要的作用。

一元一次

定义

只含有一个未知数，且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）。通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）。

一般解法

例如：

3x=5×6

解：3x=30

x=30÷3

x=10

鸡兔同笼

解法公式

解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数

总只数－鸡的只数=兔的只数

解法2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） =兔的只数

总只数－兔的只数=鸡的只数

解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数

总只数—兔的只数=鸡的只数

解法4（方程）：X=总脚数÷2—总头数（X=兔的只数）

总只数—兔的只数=鸡的只数

解法5（方程）：X=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=兔的只数）

总只数—兔的只数=鸡的只数

解法6（方程）：X=（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=鸡的只数）

总只数－鸡的只数=兔的只数

方程解法

若用方程解鸡兔同笼问题，公式为：鸡脚+兔脚=总脚数。

鸡为x

例笼中共有30只鸡和兔，数一数足数正好是100只。问鸡和兔各有多少只？

解：设鸡为x只，则兔为(30-x)只。

2x+(30-x)×4=100

解： 2x+120-4x=100

120-2x=100

2x=20

x=10

30-10=20（只）

答：鸡有10只，兔有20只。

兔为x

例笼中共有鸡兔100只，鸡兔足数共248只。问鸡兔各有多少只？

解：设兔为x只，则鸡为(100-x)只。

4x+(100-x)×2=248

解：4x+200-2x=248

2x+200=248

2x=48

x=24

100-24=76（只）

答：鸡有76只，兔有24只。