常见类型
⑴求不定方程的整数解
⑵判定不定方程是否有解
⑶判定不定方程的解的个数有限个还是无限个
一次不定方程
二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c其中 abc 是整数ab ≠ 0此方程有整数解的充分必要条件是ab的最大公约数整除c设
是该方程的一组整数解那么该方程的所有整数解可表示为.S≥2元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1…asn为整数且a1…as≠0此方程有整数解的充分必要条件是a1…as的最大公约数整除n
埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数他自己证明了有无穷多个素数公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法
一要得到不大于某个自然数N的所有素数只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可
二后来人们将上面的内容等价转换如果N是合数则它有一个因子d满足1 三再将二的内容等价转换若自然数N不能被不大于根号√N的任何素数整除则N是一个素数见代数学辞典[上海教育出版社]1985年屉部贞世朗编259页 四上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式 N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak⑴ 其中p1p2.....pk表示顺序素数235a≠0即N不能是2m+03m+05m+0...pkm+0形若N 五可以把1等价转换成为用同余式组表示 N≡a1(modp1 N≡a2(modp2.....N≡ak(modpk⑵ 例如2929不能够被根号29以下的任何素数235整除29=2x14+1=3x9+2=5x5+429≡1(mod229≡2(mod3 29≡4(mod529小于7的平方49所以29是一个素数 以后平方用*表示即=m* 由于⑵的模p1p2....pk 两两互素根据孙子定理中国剩余定理知⑵在p1p2.....pk范围内有唯一解 例如k=1时N=2m+1解得N=357求得了33*区间的全部素数 k=2时N=2m+1=3m+1解得N=71319 N=2m+1=3m+2解得N=5111723求得了55*区间的全部素数 k=3时 ---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.| ---------------------|---------|----------|--------|---------| n=2m+1=3m+1= |--31----|--7,37-|-13,43|--19----| n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---| ------------------------------------------------------------ 求得了77*区间的全部素数仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数 关于整数多元一次不定方程可以有矩阵解法程序设计等相关方法辅助求解 二元二次不定方程本质上可以归结为求二次曲线即圆锥曲线的有理点或整点问题 一类特殊的二次不定方程是x^2+y^2=z^2其正整数解称商高数或勾股数或毕达哥拉斯数中国周髀算经中有勾广三股修四经隅五之说已经知道 (345是一个解刘徽在注九章算术中又给出了5121381517 (72425202129几组勾股数它的全部正整数解已在16世纪前得到这类方程本质上就是求椭圆上的有理点 另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程x2－Dy2=1D是非平方的正整数利用连分数理论知此方程永远有解这类方程就是求双曲线上的有理点 最后一类就是平方剩余问题 即求x^2-py=q的整数解 用高斯的同余理论来描述就是求x^2≡q(mod p)的剩余类解高斯发现的著名二次互反律给出了次方程是否有解的判定方法这类方程就相当于求抛物线上的整点 圆锥曲线对应的不定方程求解可以看做椭圆曲线算术性质的一种特例 对高于二次的不定方程相当复杂当n>2时x^n+y^n=z^n没有非平凡的整数解 即著名的费马大定理历经3个世纪 已由英国数学家安德鲁 ·维尔斯证明完全可以成立 有一些高次方程同样无解无解高次方程1)" style="float: left;" picsrc="d872d6956f20b576d1135e85" data-layout="left" width="647" height="138" url="http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D250/sign=2c3bc934b3de9c82a265fe8a5c8080d2/d31b0ef41bd5ad6e63a749e781cb39dbb6fd3c64.jpg" compressw="250" compressh="53" useredit="1" />无解高次方程2)" style="float: left;" picsrc="7c5fcc1ba99503e8ad6e75bb" data-layout="left" width="640" height="118" url="http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D250/sign=697a852bfdfaaf5180e386babc5594ed/7e3e6709c93d70cf9ca68700f8dcd100baa12b5a.jpg" compressw="250" compressh="46" useredit="1" /> 多元高次不定方程 多元高次不定方程没有一般的解法任何一种解法都只能解决一些特殊的不定方程如利用二次 域来讨论一些特殊的不定方程的整数解常用的解法 ⑴代数恒等变形如因式分解配方换元等 ⑵不等式估算法利用不等式等方法确定出方程中某些变量的范围进而求解 ⑶同余法对等式两边取特殊的模如奇偶分析缩小变量的范围或性质得出不定方程的整数解或判定其无解 ⑷构造法构造出符合要求的特解或构造一个求解的递推式证明方程有无穷多解 ⑸无穷递推法 例1 求11x+15y=7的整数解 解法1 将方程变形得11x=7-15y 因为x是整数所以7-15y应是11的倍数由观察得x0=2y0=-1是这个方程的一组整数解所以方程的解为x0=2,y0=-1 解法2 先考察11x+15y=1通过观察易得 11×-4)+15×⑶=1 所以 11×-4×7)+15×3×7)=7 可取x0=-28y0=21从而 可见二元一次不定方程在无约束条件的情况下通常有无数组整数解由于求出的特解不同同一个不定方程的解的形式可以不同但它们所包含的全部解是一样的将解中的参数t做适当代换就可化为同一形式 例2 求方程6x+22y=90的非负整数解 解 因为622)=2所以方程两边同除以2得 3x+11y=45 ① 由观察知x1=4y1=-1是方程 3x+11y=1 ② 的一组整数解从而方程①的一组整数解为 由定理可得方程①的一切整数解为 因为要求的是原方程的非负整数解所以必有 由于t是整数由③④得15≤t≤16所以只有t=15t=16两种可能 当t=15时x=15y=0当t=16时x=4y=3所以原方程的非负整数解是 例3 求方程7x+19y=213的所有正整数解 分析 这个方程的系数较大用观察法去求其特殊解比较困难碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小最后再用观察法求得其解 解 用方程 7x+19y=213 ① 的最小系数7除方程①的各项并移项得 因为xy是整数故3-5y/7=u也是整数于是5y+7u=3T儆*5除此式的两边得 2u+5v=3 ④ 由观察知u=-1v=1是方程④的一组解将u=-1v=1代入③得y=2y=2代入②得x=25于是方程①有一组解x0=25y0=2所以它的一切解为 由于要求方程的正整数解所以 解不等式得t只能取01因此得原方程的正整数解为 当方程的系数较大时我们还可以用辗转相除法求其特解其解法结合例题说明 例4 求方程37x+107y=25的整数解 解 107=2×37+33 37=1×33+4 33=8×4+1 为用37和107表示1我们把上述辗转相除过程回代得 1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4 =37-9×37-33)=9×33-8×37 =9×107-2×37)8×37=9×107-26×37 =37×-26)+107×9 由此可知x1=-26y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解于是 x0=25×-26)=-650y0=25×9=225 是方程37x+107y=25的一组整数解 所以原方程的一切整数解为 例5 某国硬币有5分和7分两种问用这两种硬币支付142分货款有多少种不同的方法 解 设需x枚7分y枚5分恰好支付142分于是 7x+5y=142. ① 所以 由于7x≤142所以x≤20并且由上式知5|2(x-1因为52)=1所以5|x-1从而x=161116①的非负整数解为 所以共有4种不同的支付方式 说明 当方程的系数较小时而且是求非负整数解或者是实际问题时这时候的解的组数往往较少可以用整除的性质加上枚举也能较容易地解出方程 多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程 例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解 解 设9x+24y=3t即3x+8y=t于是3t-5z=1000于是原方程可化为 用前面的方法可以求得①的解为 ②的解为 消去t得 大约1500年以前中国古代数学家张丘建在他编写的张丘建算经里曾经提出并解决了百钱买百鸡这个有名的数学问题通俗地讲就是下例 例7 今有公鸡每只五个钱母鸡每只三个钱小鸡每个钱三只用100个钱买100只鸡问公鸡母鸡小鸡各买了多少只 解 设公鸡母鸡小鸡各买xyz只由题意列方程组 ①化简得 15x+9y+z=300 ③ ③-②得 14x+8y=200 即 7x+4y=100 解7x+4y=1得 于是7x+4y=100的一个特解为 由定理知7x+4y=100的所有整数解为 由题意知0 由于t是整数故t只能取262728而且xyz还应满足 x+y+z=100 t x y z 26 4 18 78 27 8 11 81 28 12 4 84 即可能有三种情况4只公鸡18只母鸡78只小鸡或8只公鸡11只母鸡81只小鸡或12只公鸡4只母鸡84只小鸡 不定方程浅说 不定方程(indeterminate equation)是数论的一个分支它有着悠久的历史与丰富的内容所谓不定方程是指解的范围为整数正整数有理数或代数整数的方程或方程组其未知数的个数通常多于方程的个数 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程所以不定方程又称丢番图方程是数论的重要分支学科也是历史上最活跃的数学领域之一不定方程的内容十分丰富与代数数论几何数论集合数论等等都有较为密切的联系1969年莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果 对于多项式不定方程 我们相当于求解某个代数簇上的有理点或整点等等这样 一个数论问题就转化为某种几何问题这种观点将数论与代数几何联系起来是一种重要的数学思想对于代数曲线来说 相应的不定方程是否有解的以及是否有无限个解 都与曲线的亏格密切相关这就是著名的莫代尔猜想由法尔廷斯证明所包含的内容 亏格零的曲线就是直线和二次曲线 他们就对应了上述的一次和二次不定方程亏格1的是椭圆曲线 它的算术性质和代数几何性质极为丰富它将数论复分析代数几何表示论等等都联系起来 是当代数学最重要的研究对象之一与此相关的是千禧年七大数学难题之一的BSD猜想 著名的费马大定理的证明也与此相关 定义1. 形如 ax + by = c ( abc∈Zab不同时为零的方程称为二元一次不定方程 定理1. 方程 ax + by = c 有解的充要是 ( a,b ) | c 定理2. 若 a,b ) = 1且 x_0y_0为 ax + by = c 的一个解则方程的一切解都可以表示成 定理3. n元一次不定方程 a_1x_1 + a_2x_2 +…+ a_nx_n = c a_1a_2…a_nc∈N 有解定理2t为任意整数" style="float: left;" picsrc="647912d7d1eb82e0a044df22" data-layout="left" width="103" height="83" url="http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D220/sign=3b3c1fec62d9f2d3241123ed99ed8a53/d52a2834349b033b1b7ddcd715ce36d3d439bdc1.jpg" compressw="103" compressh="83" useredit="1" />的充要条件是 a_1a_2…a_n ) | c. 方法与技巧 1解二元一次不定方程通常先判定方程有无解若有解可先求 ax + by = c 一个特解从而写出通解当不定方程系数不大时有时可以通过观察法求得其解即引入变量逐渐减小系数直到容易得其特解为止 2解n元一次不定方程 a_1x_1 + a_2x_2 +…+ a_nx_n = c 时可先顺次求出 ( a_1a_2 ) = d_2 d_2a_3 ) = d_3… d_(n-1a_n ) = d_n. 若c不能被 d_n 整除则方程无解若c可以被 d_n 整除则方程有解作方程组 方法与技巧2)" style="float: left;" picsrc="109eb7ec7412741a62d09fe4" data-layout="left" width="175" height="115" url="http://g.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D220/sign=18cc6cb49e510fb37c197095e933c893/b21c8701a18b87d6d97e8912070828381f30fdfb.jpg" compressw="175" compressh="115" useredit="1" />求出最后一个方程的一切解然后把 t_(n-1) 的每一个值代入倒数第二个方程求出它的一切解这样下去即可得方程的一切解 3m个n元一次不定方程组成的方程组其中 m < n可以消去 m-1 个未知数从而消去了 m-1 个不定方程将方程组转化为一个 n-m+1 元的一次不定方程 1因式分解法对方程的一边进行因式分解另一边作质因式分解然后对比两边转而求解若干个方程组 2同余法如果不定方程 F( x_1x_2…x_n ) = 0 有整数解则对于任意 m∈N其整数解 ( x_1x_2…x_n ) 满足 F( x_1x_2…x_n ) ≡ 0 ( modm 利用这一条件同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石 3不等式估计法利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围再分别求解 4无限递降法若关于正整数n的命题 P(n) 对某些正整数成立设 n_0 是使 P(n) 成立的最小正整数可以推出存在正整数n使得 n_1 < n_0 成立适合证明不定方程无正整数解 方法与技巧 1因式分解法是不定方程中最基本的方法其理论基础是整数的唯一分解定理分解法作为解题的一种手段没有因定的程序可循应具体的例子中才能有深刻地体会 2同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件为进一步求解或求证作准备同余的关键是选择适当的模它需要经过多次尝试 3不等式估计法主要针对方程有整数解则必然有实数解当方程的实数解为一个有界集则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个逐一检验求出全部解若方程的实数解是无界的则着眼于整数利用整数的各种性质产生适用的不等式 4无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解使得它比已选择的解严格地小由此产生矛盾 1利用分解法求不定方程 ax + by = cxy ( abc≠0 整数解的基本思路 将 ax + by = cxy 转化为 (x - a)(cy -b) = ab 后若 ab 可分解为 ab = a_1b_1 = a_2b_2 =…= a_ib_i∈Z则解的一般形式为特殊不定方程1通解 2定义2形如的 x^2 + y^2 = z^2 的方程叫做勾股数方程这里xyz为正整数 对于方程 x^2 + y^2 = z^2 如果 (xy) = d则 d^2|z^2从而只需讨论 (xy) = 1 的情形此时易知xyz两两互素这种两两互素的正整数组叫方程的本原解 定理3.勾股数方程满足条件 2|y 的一切解可表示为 特殊方程之勾股数方程1)" style="float: left;" picsrc="0b3a1c088c5a1dec63d98649" data-layout="left" width="196" height="17" url="http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D220/sign=a5c8c72b0924ab18e416e63505fbe69a/f9198618367adab4bd43394e8bd4b31c8701e428.jpg" compressw="196" compressh="17" useredit="1" />其中 a > b > 0ab) = 1 且ab为一奇一偶 推论勾股数方程的全部正整数解xy的顺序不加区别可表示为 |其中 a > b > 0 是互质的奇偶性不同的一对正整数d是一个特殊方程之勾股数方程2)" style="float: left;" picsrc="0ef21124fe1dce0ec995595c" data-layout="left" width="255" height="17" url="http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D250/sign=b599ca69564e9258a23481ebac83d1d1/8694a4c27d1ed21bb24e0ce8ad6eddc451da3f33.jpg" compressw="250" compressh="16" useredit="1" />整数 勾股数不定方程的整数解的问题主要依据定理来解决 3定义3.方程 x^2 - dy^2 = ±1±4 ( xy∈Z正整数d不是平方数 是 x^2 - dy^2 = c 的一种特殊情况称为沛尔Pell方程 这种二元二次方程比较复杂它们本质上归结为双曲线方程 x^2 - dy^2 = c 的研究其中cd都是整数d > 0 且非平方数而 c ≠ 0它主要用于证明问题有无数多个整数解对于具体的d可用尝试法求出一组成正整数解如果上述pell方程有正整数解xy则称使 x + yd^0.5 的最小的正整数解为它的最小解 定理4.Pell方程 x^2 - dy^2 = 1 ( xy∈Z正整数d不是平方数必有正整数解且若设它的最小解为x_1y_1则它的全部解可以表示成 特殊方程之佩尔方程1)" style="float: left;" picsrc="814b07d83de2a60832fa1c3e" data-layout="left" width="288" height="72" url="http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D250/sign=31a2ddbd65380cd7e21ea5e89145ad14/f11f3a292df5e0fe18f9ab0c5c6034a85fdf72dd.jpg" compressw="250" compressh="62" useredit="1" />上面的公式也可以写成以下几种形式 特殊方程之佩尔方程2)" style="float: left;" picsrc="ac2fc3c4faf299f639db49c2" data-layout="left" width="214" height="62" url="http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D220/sign=58f6acb28c5494ee8322081b1df5e0e1/3ac79f3df8dcd1001189d52c728b4710b9122fa1.jpg" compressw="214" compressh="62" useredit="1" />特殊方程之佩尔方程3)" style="float: left;" picsrc="d66b7e590107cc172834f0cc" data-layout="left" width="194" height="65" url="http://e.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D220/sign=947be0248618367aa98978df1e738b68/4e4a20a4462309f7b478801f720e0cf3d7cad6a3.jpg" compressw="194" compressh="65" useredit="1" />特殊方程之佩尔方程4)" style="float: left;" picsrc="4bd1e803aaa7b14a3912bbcd" data-layout="left" width="185" height="61" url="http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D220/sign=a9e523fa9f3df8dca23d8893fd1172bf/72f082025aafa40f92d1e3d0ab64034f78f019a3.jpg" compressw="185" compressh="61" useredit="1" />定理5.Pell方程x^2 - dy^2 = -1 ( xy∈Z正整数d不是平方数要么无正整数解要么有无穷多组正整数解且在后一种情况下设它的最小解为x_1y_1则它的全部解可以表示为 特殊方程之佩尔方程3)" style="float: left;" picsrc="09bb4f3d239541d33d6d97e4" data-layout="left" width="317" height="72" url="http://f.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D250/sign=d441b576d11373f0f13f689a940f4b8b/1e30e924b899a901490a763b1d950a7b0208f5fb.jpg" compressw="250" compressh="56" useredit="1" />|定理6. 费尔马Fermat大定理方程 x^n + y^n = z^n (n≥3且为整数无正整数解 费尔马Fermat大定理的证明一直以来是数学界的难题但是在1994年6月美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题至此这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目脱去了其神秘面纱 丢番图 古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程因此常称不定方程为丢番图方程Diophantus古代希腊人被誉为代数学的鼻祖流传下来关于他的生平事迹并不多今天我们称整系数的不定方程为Diophantus方程内容主要是探讨其整数解或有理数解他有三本著作其中最有名的是算术当中包含了189个问题及其答案而许多都是不定方程组变量的个数大于方程的个数或不定方程式两个变数以上丢番图只考虑正有理数解而大衍类" style="float: left;" picsrc="8d158aeecf717b152df5348f" data-layout="left" width="200" height="303" url="http://h.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D220/sign=e69796166059252da7171a06049a032c/203fb80e7bec54e709bf6e12b9389b504fc26a6e.jpg" compressw="145" compressh="220" useredit="1" />不定方程通常有无穷多解的 研究不定方程要解决三个问题①判断何时有解②有解时决定解的个数③求出所有的解中国是研究不定方程最早的国家公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题公元5世纪的张丘建算经中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来百鸡问题说鸡翁一直钱五鸡母一直钱三鸡雏三直钱一百钱买百鸡问鸡翁母雏各几何设xyz分别表鸡翁母雏的个数则此问题即为不定方程组的非负整数解xyz这是一个三元不定方程组问题 这个领域更有重要进展但从整体上来说对于高于二次的多元不定方程人们知道得不多另一方面不定方程与数学的其他分支如代数数论代数几何组合数学等有着紧密的联系在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意成为数论中重要的研究课题之一 不定方程 费尔马与费尔马大定理 费尔马Pierre de Fermat1601～1665)法国著名数学家被誉为业余数学家之王费尔马一生从未受过专门的数学教育数学研究也不过是业余之爱好然而在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌他是解析几何的发明者之一对于微积分诞生的贡献仅次于艾萨克?牛顿戈特弗里德?威廉?凡?莱布尼茨又是概率论的主要创始人还是独承17世纪数论天地的人此外费尔马对物理学也有重要贡献一代数学天才费尔马堪称是17世纪法国最伟大的数学家之一 费尔马的家庭非常富裕因而接受了很好很广博的教育当时还有买官的风气所以费尔马得以一生都做官而且官越当越大 费尔马虽然一直做着官但对他来说真正的事业是学术尤其是数学他通晓法语意大利语西班牙语拉丁语和希腊语而且还颇有研究语言方面的博学给他的数学研究提供了语言工具和便利使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学正是这些可能为费尔马在数学上的造诣奠定了良好基础在数学上费尔马不仅可以在数学王国里自由驰骋而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学这也不能绝对归于他的数学天赋与他的博学多才多少也是有关系的 费尔马生性内向谦抑好静不善推销自己不善展示自我因此他生前极少发表自己的论著连一部完整的著作也没有出版他发表的一些文章也总是隐姓埋名反映其成就的数学论集还是费尔马去世后由其长子将其笔记批注及书信整理后编辑出版的多亏了这个好儿子啊如果不是他积极出版其父的数学论著那很难说费尔马能对数学产生那么重大的影响并被誉为业余数学家之王 费尔马的贡献很多但最出名的要数其中的费尔马大定理这是一个与哥德巴赫猜想一类的数学难题下面就说说它 费尔马大定理的内容 当整数n > 2时关于x,y,z的不定方程 x^n + y^n = z^n. n表示n次方 无正整数解 1637年费尔马在阅读丢番图算术拉丁文译本时曾在第11卷第8命题旁写道将一个立方数分成两个立方数之和或一个四次幂分成两个四次幂之和或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和这是不可能的关于此我确信已发现了一种美妙的证法 可惜这里空白的地方太小写不下拉丁文原文 "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."毕竟费尔马没有写下证明而他的其它猜想对数学贡献良多由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣 1908年德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内第一个证明该定理的人当时吸引了不少人尝试并递交他们的证明但都没成功 最后在1995年亦即从问题提出到解决经过了三个半世纪的努力后这道世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁?怀尔斯和他的学生理查?泰勒成功证明证明利用了很多新的数学包括代数几何中的椭圆曲线和模形式以及伽罗华理论和Hecke代数等这令人怀疑费尔马当年是否真的找到了正确证明 安德鲁?怀尔斯(Andrew Wiles由于成功证明此定理获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖当然他也拿到了那笔10万马克的奖金因为还在规定的破解期限内 而怀尔斯证明费尔马大定理的过程亦甚具戏剧性他用了7年时间在不为人知的情况下得出了证明的大部分然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明并瞬即成为世界头条但在审批证明的过程中专家发现了一个极严重的错误怀尔斯和泰勒然后又用了近一年的时间尝试补救终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功他们的证明刊在1995年的数学年刊en:Annals of Mathematics之上多元一次
二次
高次
简单例题
简介
代数几何
特殊方法
二元一次方程组" class="anchor-2">一二元一次方程组
高次方程组" class="anchor-2">二高次方程组
特殊的方程" class="anchor-2">三特殊的方程
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