参数方程
双曲线的参数方程：
①x=a·sec θ (正割) y=b·tan θ ( a为实半轴长， b为虚半轴长，θ为参数。焦点在X轴上）
②x=a(t+1/t)/2, y=b(t-1/t)/2 (t为参数）（a为半实轴长，b为半短轴长，焦点在X轴上）
面积公式
若 ∠F1PF2=θ，
则 S△F1PF2=b2×cot（θ/2）或S△F1PF2=b2/tan（θ/2）
·例：已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多
少？
解：由双曲线焦点三角形面积公式
得S△F1PF2=b2×cot（θ/2）=√3
设P到x轴的距离为h，则 S△F1PF2?=1/2×h×2√2; h =√6/2
基本定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线。（平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线）
即：│PF1-PF2│=2a
定义1：
双曲线平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为x=±a?/c（焦点在x轴上）或y=±a?/c（焦点在y轴上）。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
1.a、b、c不都是零.
2.b2?- 4ac > 0.
注：第2条可以推出第1条。
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x2/a2?- y2/b2?= 1.
上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
标准方程为：
1、焦点在X轴上时为：
x2/a2?- y2/b2?= 1?（a>0，b>0）
2、焦点在Y 轴上时为：
y2/a2?- x2/b2?= 1?（a>0，b>0）
特征介绍
以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。
分支
双曲线有两个分支。
焦点
在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。
准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线
离心率
在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。
双曲线离心率e=c/a
双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）
顶点
双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。
实轴
两顶点之间的距离称为双曲线的实轴。实轴长的一半称为实半轴。
渐近线
双曲线有两条渐近线。
渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：X2/2-Y2/4=1，令1=0，则X2/2=Y2/4，则双曲线的渐近线为Y=±(√2)X
一般地我们把直线Y=±(bX/a）叫做双曲线的渐进线（asymptote to the hyperbola ）（焦点在X轴上）
顶点连线斜率
双曲线x2/a2 - y2/b2 = 1上一点与两顶点连线的斜率之积为b/a。
实际应用
通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔“小蛮腰”等
重点介绍
取值范围
│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。
对称性
关于坐标轴和原点对称。
顶点
A(-a,0) ， A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.
B(0,-b）?， B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
F1（-c,0) , F2（c,0）。F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c2
渐近线
焦点在x轴：y=±（b/a)x.
焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线ρ=ε/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角，即θ=arccos（1/e)
令θ=0，得出ρ=ε/（1-e）,x=ρcosθ=ε/（1-e）
令θ=π，得出ρ=ε/（1+e）,x=ρcosθ=-ε/（1+e）
双曲线这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转π/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-[π/2-arccos（1/e)]
则θ=θ’+[π/2-arccos（1/e)]
代入上式：
ρcos{θ’+[π/2-arccos（1/e)]}=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ε/1-e)+(-ε/1+e)]/2
现证明双曲线x2/a2-y2/b2=1 上的点在渐近线中
设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则
y=(b/a）√（x2-a2）?(x>a)
因为x2-a2<x2，所以y=(b/a）√（x2-a2）2=bx/a
即 y<bx/a
所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方
根据对称性第二、三、四象限亦如此
离心率
第一定义：e=c/a 且e∈（1，+∞）.
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e
焦半径
（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离）
左焦半径：r=│ex+a│
右焦半径：r=│ex-a│
等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）
共轭双曲线
双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达：S：（x2/a2）-(y2/b2）=1 S'：（y2/b2）-(x2/a2）=1
特点：（1）共渐近线；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
准线
焦点在x轴上：x=±a2/c
焦点在y轴上：y=±a2/c
1、通径长
（圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦）
d=2b2/a
2、过焦点的弦长公式：
d=2pe/（1-e2cos2θ）
3、弦长公式
d = √（1+k2）|x1-x2|
= √[（1+k2）(x1-x2）2]
= √（1+1/k2）|y1-y2|
= √[（1+1/k2）(y1-y2）2?]
推导如下：
由 直线的斜率公式：k = (y1?- y2）?/ (x1?- x2）
得 y1?- y2?= k(x1?- x2）?或 x1?- x2?= (y1?- y2）/k
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[（x1?- x2）2; +?（y1?- y2）2; ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1?- x2|√（1 + k2;) 或 |AB| = |y1?- y2|√（1 + 1/k2;)
·4、双曲线的标准公式与反比例函数
X2/a2?- Y2/b2?= 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
因为 xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X2/a2?- Y2/b2?= 1的对称轴是x轴，y轴
所以应该旋转45°
设旋转的角度为 a（a≠0，顺时针）
（a为双曲线渐进线的倾斜角）
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X2?- Y2?= (xcos（π/4）?+ ysin（π/4）)2?-(xsin（π/4）?- ycos（π/4）)2
=?（√2/2 x + √2/2 y)2?-（√2/2 x - √2/2 y)2
= 4?（√2/2 x)?（√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X2/（2c) - Y2/（2c) = 1 (c>0)
Y2/(-2c) - X2/(-2c) = 1 (c<0)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式。
双曲线内、上、外：
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x2/a2-y2/b2>1；
在双曲线的线上称为双曲线上，则有x2/a2-y2/b2=1；
在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x2/a2-y2/b2<1。
光学性质
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。
双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。