简介
不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）
基本不等式 - 搜搜百科
“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≥，> 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
例如lg(1+x)>x是超越不等式。
整式不等式
整式不等式两边都是整式 （ 未知数不在分母上 ）
一元一次不等式:含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式.如3-X>0
同理:二元一次不等式:含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式.高中数学:《绝对值不等式的解法》课件(新人教基本性质
①如果x>y，那么y<x；（对称性）；
②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z
；（加法原则，或叫同向不等式可加性）
④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz.（乘法原则）；
⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)
⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂的n次幂（n为负数）
或者说，不等式的基本性质有：
①对称性；
②传递性：
③加法单调性：即同向不等式可加性：
④乘法单调性：
⑤同向正值不等式可乘性：
⑥正值不等式可乘方：
⑦正值不等式可开方：
⑧倒数法则。
……
如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上是其中比较有名的。
原理
主要的有：
①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。
②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）③如果不等式F（x）0，那么不等式F(x)<G（X）与不等式H（X）F（X）<H（ (x)F（x） 同解；如果H（x）<0，那么不等式f（x）H（x）G（x）同解。0，那么不等式f（x）（x）>
④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。
1）不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
2）不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3）不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
注意事项
1.符号：
不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。
2.确定解集：
比两个值都要大，就比大的还大(同大取大）；
比两个值都要小，就比小的还小(同小取小）；
比大的大，比小的小，无解（大大小小没法找）；
比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小中间找）。
三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
3.另外，也可以在数轴上确定解集：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。
4.不等式两边相加或相减，同一个数或式子，不等号的方向不变。（移项要变号）
5.不等式两边相乘或相除，同一个正数，不等号的方向不变。（相当系数化1，这是得正数才能使用）
6.不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。（÷或×1个负数的时候要变符号）
证明方法
比较法
包括比差和比商两种方法。
综合法
证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，综合法又叫顺推证法或因导果法。
分析法
证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
放缩法
证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
数学归纳法
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
不仅是要用数学归纳法证明，而且要结合实际去进行下一步
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
重要不等式
柯西不等式
形式
对于2n个任意实数x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，恒有
（x1y1+x2y2+…+xnyn)^2≤（x1^2+x2^2+…+xn^2）（y1^2+y2^2+…+yn^2）
柯西不等式的几种变形形式
1.设xi∈R,yi>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=l*ai (i=1,2,3,…,n)时取等号
2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等
证法
柯西不等式的一般证法有以下几种：
①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 则我们知道恒有 f(x) ≥ 0. 用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 于是移项得到结论。
②用向量来证. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX． 因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 ，这就证明了不等式． 柯西不等式的证明方法还有很多种，这里只取两种较常用的证法．
柯西不等式的应用
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
例（巧拆常数）：设a、b、c 为正数且各不相等。 求证： 2/(a+c)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数 ∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。
排序不等式
排序不等式
又称排序原理。
对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，
记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那么恒有S≤M≤L。
当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时，等号成立。
即反序和≤乱序和≤顺序和
其他不等式
琴生不等式
均值不等式
均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
绝对值不等式
权方和不等式
赫尔德不等式
闵可夫斯基不等式
伯努利不等式
舒尔不等式
切比雪夫不等式
幂平均不等式
马尔可夫不等式
契比雪夫不等式
基本不等式
卡尔松不等式
几何不等式
外森比克不等式
克拉克森不等式
yu不等式
施瓦尔兹不等式
卡尔松不等式
三角不等式
erdos不等式
Milosevic不等式
等周不等式
芬斯拉不等式
嵌入不等式
杨氏不等式
车贝契夫不等式
马尔可夫不等式
典范类不等式
佩多不等式
四边形不等式
肖刚不等式
Arakelov不等式
卡拉玛特不等式
外森比克不等式
宫冈-丘不等式
柯西—施瓦茨不等式
例题
例1
判断下列命题的真假,并说明理由.
若a>b,c=d,则ac>bd(假,因为c.d符号不定)
若a+c>c+b,则a>b;(真)
若a>b且ab<0,则a<0;(假)
若-a<-b,则a>b;(真)
若|a|b2;(充要条件)
说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
例2
a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)
说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.
例3
设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想
例4
设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与butdasdc的大小
定理口诀
解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。
（x）与不等式f（x）+h（x）÷z；<>
分类
柯西不等式(可通过构造一元二次方程利用判别式证明)
排序不等式
契比雪夫不等式
琴生不等式
均值不等式
绝对值不等式
几个重要不等式
1柯西不等式
柯西不等式的一般证法有以下几种：
（1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
（2）用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数：
例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。
像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．
2排序不等式
排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。
设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n−1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。
以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.
证明时可采用逐步调整法。
例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。
依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。
3切比雪夫不等式
切比雪夫不等式有两个
（1）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn
那么，∑aibi≥(1/n)(∑ai)(∑bi)
（2）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn
那么，∑aibi≤(1/n)(∑ai)(∑bi)
4 琴生不等式
设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中
ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
5均值不等式
a^2 + b^2≥ 2ab （a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍)
当a,b 分别大于0时上试可变为a+b ≥2√ab
完全的均值不等式:
√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
证明：（证明过程引自他出）
设a，b是两个正数，
M2=√[(a^2+b^2)/2]，A=(a+b)/2，G=√(ab)，H=2/(1/a+1/b)
分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。证明: M2≥A≥G≥H。
证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。
EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。
如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么
E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。
如果E2F2分梯形的中位线，那么
E2F2=(a+b)/2。
如果E3F3分梯形为两相似图形，那么
E3F3=√(ab)。
如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么
E4F4=2/(1/a+1/b)。
从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。一元一次不等式组¤