选4-7
优选法与试验设计初步
感受在现实生活中存在着大量的优选问题
掌握分数法0.618法及其适用范围可以利用计算机或计算器进行试验并能思考和尝试运用这些方法解决一些实际问题体会优选的思想方法
了解斐波那契数列{ }理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明通过连分数知道 和黄金分割的关系
知道对分法爬山法分批试验法以及目标函数为多峰情况下的处理方法
了解多因素优选问题了解处理双因素问题的一些优选方法进一步体会优选的思想方法
感受在现实生活中存在着大量的试验设计问题
理解运用正交试验设计方法解决简单问题的过程了解正交试验的思想和方法并能运用这种方法思考和解决一些简单的实际问题
选3-3
球面上的几何
通过丰富的实际问题如测量航空卫星定位体会引入球面几何知识的必要性
通过球面图形与平面图形的比较感受球面几何与欧氏平面几何的异同例如球面上的大圆相当于平面上的直线球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分球幂定理
体会球面具有类似平面的对称性质
了解球面上的一些基本图形大圆小圆球面角球面二角形月形极与赤道球面三角形球面三角形的极对称三角形简称球极三角形
通过球面几何与欧氏平面几何比较探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上并说明理由由此理解球面三角形的全等定理s.s.ss.a.sa.s.a
理解单位球面三角形的面积公式 由此体会球面三角形内角和大于180°
了解球面三角形全等的a.a.a定理
利用球面三角形面积公式证明欧拉公式体验球面几何与拓扑学的关系
利用向量的叉乘向量积探索并证明球面余弦定理 和球面上的勾股定理即当 时的球面余弦定理能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理
体会当球面半径无限增大时球面接近于平面球面的三角公式就变成相应的平面三角公式
初步了解另一种非欧几何模型庞加莱模型
选4-4
坐标系与参数方程
坐标系
回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法体会坐标系的作用
通过具体例子了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况
能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别能进行极坐标和直角坐标的互化
能在极坐标系中给出简单图形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义
借助具体实例如圆形体育场看台的座位地球的经纬度等了解在柱坐标系球坐标系中刻画空间中点的位置的方法并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较体会它们的区别
参数方程
通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系写出抛物运动轨迹的参数方程体会参数的意义
分析直线圆和圆锥曲线的几何性质选择适当的参数写出它们的参数方程
举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便感受参数方程的优越性
借助教具或计算机软件观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹平摆线直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹渐开线了解平摆线和渐开线的生成过程并能推导出它们的参数方程
通过阅读材料了解其他摆线变幅平摆线变幅渐开线外摆线内摆线环摆线的生成过程了解摆线在实际中应用的实例例如最速降线是平摆线椭圆是特殊的内摆线卡丹转盘圆摆线齿轮与渐开线齿轮收割机翻土机等机械装置的摆线原理与设计星形线与公共汽车门了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用
选2-2
1. 导数及其应用
约24课时
1导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程了解导数概念的实际背景知道瞬时变化率就是导数体会导数的思想及其内涵参见选修1－1案例中的例2例3
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义
2导数的运算
①能根据导数定义求函数的导数
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数能求简单的复合函数仅限于形如 的导数
③会使用导数公式表
3导数在研究函数中的应用
①借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系参见选修1－1案例中的例4能利用导数研究函数的单调性会求不超过三次的多项式函数的单调区间
②结合函数的图象了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值极小值以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值最小值体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性
4生活中的优化问题举例
例如通过使利润最大用料最省效率最高等优化问题体会导数在解决实际问题中的作用参见选修1－1案例中的例5
5定积分与微积分基本定理
①通过求曲边梯形的面积变力做功等从问题情境中了解定积分的实际背景借助几何直观体会定积分的基本思想初步了解定积分的概念
②通过变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系直观了解微积分基本定理的含义参见例1
2. 推理与证明
约8课时
1合情推理与演绎推理
①了解合情推理的含义能利用归纳和类比等进行简单的推理体会并认识合情推理在数学发现中的作用参见选修1-2案例中的例2例3
②体会演绎推理的重要性掌握演绎推理的基本模式并能运用它们进行一些简单推理
③通过具体实例了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异
2直接证明与间接证明
①了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法了解分析法和综合法的思考过程特点
②了解间接证明的一种基本方法反证法了解反证法的思考过程特点
3数学归纳法
了解数学归纳法的原理能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
4数学文化
①通过对实例的介绍如欧几里得几何原本马克思资本论杰弗逊独立宣言牛顿三定律体会公理化思想
②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用
3. 数系的扩充与复数的引入
约4课时
1在问题情境中了解数系的扩充过程体会实际需求与数学内部的矛盾数的运算规则方程理论在数系扩充过程中的作用感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系
2理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
3了解复数的代数表示法及其几何意义
4能进行复数代数形式的四则运算了解复数代数形式的加减运算的几何意义
必修2
立体几何初步
约18课时
①利用实物模型计算机软件观察大量空间图形认识柱锥台球及其简单组合体的结构特征并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构
②能画出简单空间图形长方体球圆柱圆锥棱柱等的简易组合的三视图能识别上述的三视图所表示的立体模型会使用材料如纸板制作模型会用斜二侧法画出它们的直观图
③通过观察用两种方法平行投影与中心投影画出的视图与直观图了解空间图形的不同表示形式
④完成实习作业如画出某些建筑的视图与直观图在不影响图形特征的基础上尺寸线条等不作严格要求
⑤了解球棱柱棱锥台的表面积和体积的计算公式不要求记忆公式
2点线面之间的位置关系
①借助长方体模型在直观认识和理解空间点线面的位置关系的基础上抽象出空间线面位置关系的定义并了解如下可以作为推理依据的公理和定理
◆公理1如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线在此平面内
◆公理2过不在一条直线上的三点有且只有一个平面
◆公理3如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线
◆公理4平行于同一条直线的两条直线平行
◆定理空间中如果两个角的两条边分别对应平行那么这两个角相等或互补
②以立体几何的上述定义公理和定理为出发点通过直观感知操作确认思辨论证认识和理解空间中线面平行垂直的有关性质与判定
操作确认归纳出以下判定定理
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行则该直线与此平面平行
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行则这两个平面平行
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直则该直线与此平面垂直
◆一个平面过另一个平面的垂线则两个平面垂直
操作确认归纳出以下性质定理并加以证明
◆一条直线与一个平面平行则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行
◆两个平面平行则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行
◆垂直于同一个平面的两条直线平行
◆两个平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题
平面解析几何初步
约18课时
①在平面直角坐标系中结合具体图形探索确定直线位置的几何要素
②理解直线的倾斜角和斜率的概念经历用代数方法刻画直线斜率的过程掌握过两点的直线斜率的计算公式
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直
④根据确定直线位置的几何要素探索并掌握直线方程的几种形式点斜式两点式及一般式体会斜截式与一次函数的关系
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标
⑥探索并掌握两点间的距离公式点到直线的距离公式会求两条平行直线间的距离
2圆与方程
①回顾确定圆的几何要素在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程与一般方程
②能根据给定直线圆的方程判断直线与圆圆与圆的位置关系
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题
3在平面解析几何初步的学习过程中体会用代数方法处理几何问题的思想
4空间直角坐标系
①通过具体情境感受建立空间直角坐标系的必要性了解空间直角坐标系会用空间直角坐标系刻画点的位置
②通过表示特殊长方体所有棱分别与坐标轴平行顶点的坐标探索并得出空间两点间的距离公式
必修5
解三角形
约8课时
1通过对任意三角形边长和角度关系的探索掌握正弦定理余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题
2能够运用正弦定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
数列
约12课时
1数列的概念和简单表示法
了解数列的概念和几种简单的表示方法列表图象通项公式了解数列是一种特殊函数
①理解等差数列等比数列的概念
②探索并掌握等差数列等比数列的通项公式与前n项和的公式
③能在具体的问题情境中发现数列的等差关系或等比关系并能用有关知识解决相应的问题参见例1
④体会等差数列等比数列与一次函数指数函数的关系
不等式
约16课时
1不等关系
感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系了解不等式组的实际背景
2一元二次不等式
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数方程的联系
③会解一元二次不等式对给定的一元二次不等式尝试设计求解的程序框图
3二元一次不等式组与简单线性规划问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组
②了解二元一次不等式的几何意义能用平面区域表示二元一次不等式组参见例2
③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题并能加以解决参见例3
4基本不等式
①探索并了解基本不等式的证明过程
②会用基本不等式解决简单的最大小值问题参见例4
函数的性质 指数和对数
1定义域值域对应法则
2单调性
对于任意x1x2∈D
若x1 若x1 3奇偶性 对于函数f(x)的定义域内的任一x若f(-x)=f(x)称f(x)是偶函数 若f(-x)=-f(x)称f(x)是奇函数 4周期性 对于函数f(x)的定义域内的任-x若存在常数T使得f(x+T)=f(x)则称f(x)是周期函数1分数指数幂 数学 选修 几何证明选讲 复习相似三角形的定义与性质了解平行截割定理证明直角三角形射影定理 证明圆周角定理圆的切线的判定定理及性质定理 证明相交弦定理圆内接四边形的性质定理与判定定理切割线定理 了解平行投影的含义通过圆柱与平面的位置关系体会平行投影证明平面与圆柱面的截线是椭圆特殊情形是圆 通过观察平面截圆锥面的情境体会下面定理 定理 在空间中取直线 为轴直线 与 相交于O点其夹角为α 围绕 旋转得到以O为顶点 为母线的圆锥面任取平面π若它与轴 交角为βπ与 平行记住β=0则 β>α平面π与圆锥的交线为椭圆 β=α平面π与圆锥的交线为抛物线 β<α平面π与圆锥的交线为双曲线 利用Dandelin双球这两个球位于圆锥的内部一个位于平面π的上方一个位于平面π的下方并且与平面π及圆锥均相切证明上述定理1情况 试证明以下结果①在6中一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆并与圆锥的底面平行记这个圆所在平面为π'②如果平面π与平面π'的交线为m在51中椭圆上任取一点A该Dandelin球与平面π的切点为F则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e称点F为这个椭圆的焦点直线m为椭圆的准线常数e为离心率 探索定理中3的证明体会当β无限接近α时平面π的极限结果选4-1
必修3
算法初步
约12课时
1算法的含义程序框图
①通过对解决具体问题过程与步骤的分析如二元一次方程组求解等问题体会算法的思想了解算法的含义
②通过模仿操作探索经历通过设计程序框图表达解决问题的过程在具体问题的解决过程中如三元一次方程组求解等问题理解程序框图的三种基本逻辑结构顺序条件分支循环
2基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程理解几种基本算法语句输入语句输出语句赋值语句条件语句循环语句进一步体会算法的基本思想
3通过阅读中国古代数学中的算法案例体会中国古代数学对世界数学发展的贡献
统计
约16课时
1随机抽样
①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题
②结合具体的实际问题情境理解随机抽样的必要性和重要性
③在参与解决统计问题的过程中学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本通过对实例的分析了解分层抽样和系统抽样方法
④能通过试验查阅资料设计调查问卷等方法收集数据
2用样本估计总体
①通过实例体会分布的意义和作用在表示样本数据的过程中学会列频率分布表画频率分布直方图频率折线图茎叶图参见例1体会它们各自的特点
②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用学会计算数据标准差
③能根据实际问题的需求合理地选取样本从样本数据中提取基本的数字特征如平均数标准差并作出合理的解释
④在解决统计问题的过程中进一步体会用样本估计总体的思想会用样本的频率分布估计总体分布会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征初步体会样本频率分布和数字特征的随机性
⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据认识统计的作用体会统计思维与确定性思维的差异
⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识
3变量的相关性
①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图并利用散点图直观认识变量间的相关关系
②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程知道最小二乘法的思想能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程参见例2
概率
约8课时
1在具体情境中了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别
2通过实例了解两个互斥事件的概率加法公式
3通过实例理解古典概型及其概率计算公式会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率
4了解随机数的意义能运用模拟方法包括计算器产生随机数来进行模拟估计概率初步体会几何概型的意义参见例3
5通过阅读材料了解人类认识随机现象的过程
选2-3
计数原理
约14课时
1分类加法计数原理分步乘法计数原理
总结分类加法计数原理分步乘法计数原理能根据具体问题的特征选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题
2排列与组合
理解排列组合的概念能利用计数原理推导排列数公式组合数公式并能解决简单的实际问题
能用计数原理证明二项式定理参见例1会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
统计与概率
约22课时
1概率
①在对具体问题的分析中理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念认识分布列对于刻画随机现象的重要性
②通过实例如彩票抽奖理解超几何分布及其导出过程并能进行简单的应用参见例2
③在具体情境中了解条件概率和两个事件相互独立的概念理解n次独立重复试验的模型及二项分布并能解决一些简单的实际问题参见例3
④理解取有限值的离散型随机变量均值方差的概念能计算简单离散型随机变量的均值方差并能解决一些实际问题参见例4
⑤借助直观如实际问题的直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
2统计案例
①通过对 肺癌与吸烟有关吗的探究了解独立性检验只要求2×2列联表的基本思想方法及初步应用
②通过对 质量控制新药是否有效的探究了解实际推断原理和假设检验的基本思想方法及初步应用参见选修1-2案例中的例1
③通过对 昆虫分类的探究了解聚类分析的基本思想方法及其初步应用
④通过对 人的体重与身高的关系的探究了解回归的基本思想方法及其初步应用
参考案例
例1. 二项式定理的证明
是n个 相乘每个 在相乘时有两种选择选a或b由分步计数原理可知展开式共有 项包括同类项其中每一项都是的形式01……n对于每一项 它是由k个 选了a 个 选了b得到的它出现的次数相当于从n个中取k个a的组合数将它们合并同类项就得二项展开式这就是二项式定理
例2.高三1班的联欢会上设计了一项游戏在一个口袋中装有10个红球20个白球这些球除颜色外完全相同游戏者一次从中摸出5个球摸到4个红球的就中一等奖求获一等奖的概率
从30个球中摸出5个球的组合数为那么
如果令X表示摸出红球的个数则X服从N=30M=5n=10m=4的超几何分布那么
例3. 将一枚均匀硬币随机掷100次相当于重复做了100次试验每次有两个可能的结果出现正面不出现正面出现正面的概率为
如果令X为硬币正面出现的次数则X服从 的二项分布那么
由此可以得到随机掷100次硬币正好出现50次正面的概率为
在学习概率时会有一种误解认为既然出现正面的概率为 那么掷100次硬币出现50次正面是必然的或者这个事件发生的概率应该很大但计算表明这概率只有8%左右
例4. 据气象预报某地区下个月有小洪水的概率为0.25有大洪水的概率为0.01设工地上有一台大型设备为保护设备有以下三种方案
方案1运走设备此时需花费3800元
方案2建一保护围墙需花费2000元但围墙无法防止大洪水当大洪水来临设备受损损失费为60000元
方案3不采取措施希望不发生洪水此时大洪水来临损失60000元小洪水来临损失10000元试比较哪一种方案好
必修4
三角函数
约16课时
1任意角弧度
了解任意角的概念和弧度制能进行弧度与角度的互化
2三角函数
①借助单位圆理解任意角三角函数正弦余弦正切的定义
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 的正弦余弦正切能画出 的图象了解三角函数的周期性
③借助图象理解正弦函数余弦函数在 正切函数在 上的性质如单调性最大和最小值图象与x轴交点等
④理解同角三角函数的基本关系式
⑤结合具体实例了解 的实际意义能借助计算器或计算机画出 的图象观察参数Aω 对函数图象变化的影响
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型
平面向量
约12课时
1平面向量的实际背景及基本概念
通过力和力的分析等实例了解向量的实际背景理解平面向量和向量相等的含义理解向量的几何表示
2向量的线性运算
①掌握向量加减法的运算并理解其几何意义
②掌握向量数乘的运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
③了解向量的线性运算性质及其几何意义
3平面向量的基本定理及坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
③会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件
4平面向量的数量积
①通过物理中功等实例理解平面向量数量积的含义及其物理意义
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系
③掌握数量积的坐标表达式会进行平面向量数量积的运算
④能运用数量积表示两个向量的夹角会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
5向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题力学问题与其他一些实际问题的过程体会向量是一种处理几何问题物理问题等的工具发展运算能力和解决实际问题的能力
三角恒等变换
约8课时
1经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程进一步体会向量方法的作用
2能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦余弦正切公式二倍角的正弦余弦正切公式了解它们的内在联系
3能运用上述公式进行简单的恒等变换包括引导导出积化和差和差化积半角公式但不要求记忆
选4-6
初等数论初步
认识带余除法理解同余和剩余类的概念及意义探索剩余类的运算性质加法和乘法并且理解它的实际意义体会剩余类运算与传统的数的运算的异同会出现零因子
理解整除因数和素数的概念了解确定素数的方法筛法知道素数有无穷多
了解十进制表示的整数的整除判别法探索整数能被39117等整除的判别法会检查整数加法乘法运算错误的一种方法
探索利用辗转相除法求两个整数的最大公约数的方法理解互素的概念并能用辗转相除法证明若a能整除bc且ab互素则a能整除c探索公因数和公倍数的性质了解算术基本定理
理解一次不定方程的模型利用辗转相除法求解一次不定方程并尝试写出算法程序框图在条件允许的情况下可上机实现
通过实例如韩信点兵理解一次同余方程组模型
理解大衍求一术和孙子定理的证明
理解费马小定理和欧拉定理及其证明
费马小定理当m是素数am互素时
欧拉定理当am互素时 其中 是 中与m互素的数的个数
了解数论在密码中的应用公开密钥
选3-5
欧拉公式与闭曲面分类
复习已学过的变换并使用它们对平面图形分类
复习平移旋转平面运动反射全等位似伸缩相似变换以及对平面图形分类
在上述变换下探索什么几何性质是不变的
体会变换的一些基本特征1-1对应连续
欧拉公式
通过探索发现欧拉公式的过程理解欧拉公式
理解欧拉公式的拓扑证明
使用欧拉公式解决一些问题如探索正多面体的个数
探索非欧拉多面形的面数棱数顶点数的关系
理解曲面三角剖分的概念
会对一些曲面进行三角剖分并能计算它们的欧拉示性数
了解拓扑变换的直观含义
知道一些拓扑不变量并能用它们对一些曲线闭曲面进行分类了解一些曲线闭曲面的分类结果
了解拓扑思想的一些应用如平面布线问题一笔画问题布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题四色问题
选4-9
风险与决策
从日常生活及经济活动中的实例分析形成重视风险的意识理解风险决策的必要性和重要性理解风险决策的概念
理解损益函数与损益矩阵探索决策的途径与方法理解决策结论的意义
学会用决策树表示需要决策问题的有关信息能用反推决策树的方法进行决策
理解风险决策灵敏度分析的意义会进行决策的灵敏度分析
了解马尔可夫型决策及其决策方法
选4-5
不等式选讲
回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式
理解绝对值的几何意义
认识柯西不等式的几种不同形式理解它们的几何意义
用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况
用向量递归方法讨论排序不等式
了解数学归纳法的原理及其使用范围会用数学归纳法证明一些简单问题
会用数学归纳法证明贝努利不等式
n为大于1的正整数
了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立
会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不等式柯西不等式求一些特定函数的极值
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法比较法综合法分析法反证法放缩法
坐标向量相乘向量A(X,Y)向量B(Z,K)求A乘B → A·B=XZ+YK
选3-6
三等分角与数域扩充
了解古希腊三大几何作图问题通过三等分角问题了解它们的正确提法在不限于圆规和直尺的前提下了解三等分角的几种不同作法
理解解决三等分角问题的基本思路刻画尺规作图的范围
给定线段ab会用尺规作图方法作出长为 的线段
对于给定的任何已知线段若把它作为单位长则任一正有理数是可作图的即仅用圆规和直尺可作出该有理数长的线段
通过有理数对加减乘除运算的封闭性了解有理数域和一般数域的概念
设F是一数域 且 证明集合 也是一个数域且F是集合 的子集合了解扩域的概念
给出一些数域扩域的具体实例
给定长为a的线段会用尺规作图方法作出长为 的线段
学会把三等分角问题代数化
证明不能用尺规作图的方法三等分60度角
用上述方法讨论倍方问题或用圆规和直尺不可能作出正七边形
体会解决古希腊三大作图问题的思想方法和它在人们思想认识上的作用
了解复数乘法的棣莫弗公式会用代数方法讨论正十七边形是可作图的即可用尺规作图方法作出正十七边形
课程大纲
第一部分前言
课程性质
课程的基本理念
课程设计思路
第二部分课程目标
第三部分内容标准
必修课程 数学1 数学2 数学3 数学4 数学5
选修课程系列1系列2说明 系列1 系列2 系列3系列4说明 系列3 系列4
数学探究数学建模数学文化数学探究 数学建模 数学文化
第四部分实施建议
教学建议
评价建议
教材编写建议
选3-1
数学史选讲
早期算术与几何计数与测量
◆纸草书中记录的数学古代埃及
◆泥板书中记录的数学两河流域
◆中国周髀算经勾股定理赵爽的图
◆十进位值制的发展
古希腊数学
◆毕达哥拉斯多边形数从勾股定理到勾股数不可公度问题
◆欧几里得与几何原本演绎逻辑系统第五公设问题尺规作图公理化思想对近代科学的深远影响
◆阿基米德的工作求积法
中国古代数学瑰宝
◆九章算术中的数学方程术加减消元法正负数
◆大衍求一术孙子定理
◆中国古代数学家介绍
平面解析几何的产生数与形的结合
◆函数与曲线
◆笛卡儿方法论的意义
微积分的产生划时代的成就
近代数学两巨星欧拉与高斯
◆欧拉的数学直觉
◆高斯时代的特点数学严密化
千古谜题伽罗瓦的解答
◆从阿贝尔到伽罗瓦一个中数学家
◆几何作图三大难题
◆近世代数的产生
康托的集合论对无限的思考
◆无限集合与势
◆罗素悖论与数学基础哥德尔不完备定理
随机思想的发展
◆概率论溯源
◆近代统计学的缘起
算法思想的历程
◆算法的历史背景
◆计算机科学中的算法
中国现代数学的发展
◆现代中国数学家奋发拼搏赶超世界数学先进水平的光辉历程
说明与建议
本专题不必追求数学发展历史的系统性和完整性通过生动活泼的语言与喜闻乐见的事例呈现内容使体会数学的重要思想和发展轨迹本专题的内容安排可以采取多种形式既可以由古到今追寻数学发展的历史也可以从现实的熟悉的数学问题出发追根溯源回眸数学发展中的重要事件和人物例如可以从我们现在有多少种记数方法出发追溯历史上的记数法巴比伦的60进制英国的12进制计算机的二进制以及10进制二进制与中国的八卦又如可以从熟悉的π入手漫谈祖冲之的成果用随机数方法计算π介绍古希腊和中国古代如何对待无理数目前计算机可以算π到小数点后多少位等问题
以上所提供的内容仅仅是一种选择本专题内容的安排可以根据具体情况作适当调整内容应突出所蕴涵的思想性突出数学发展的轨迹突出数学家刻苦钻研的科学精神内容的选择要符合的接受水平呈现方式应图文并茂丰富多彩引起的兴趣
教学方式应灵活多样可采取讲故事讨论交流查阅资料撰写报告等方式进行教师应鼓励对数学发展的历史轨迹自己感兴趣的历史事件与人物写出自己的研究报告
选4-10
开关电路与布尔代数
通过开关电路知道电路和电路的两种状态以及它们的数学表示知道什么是两个电路的并联和串联什么是逆反电路以及它们的状态是怎样确定的
通过对开关电路的分析认识新电路的状态是由原电路的状态通过运算形成的掌握状态和状态的运算两个概念
通过状态和状态的运算抽象出布尔代数电路函数和电路多项式的概念感悟从实际问题抽象概括为数学问题的过程和用数学理论解决实际问题的思想方法
理解任意电路都可以用一个电路函数来表示而电路函数又都可以用一个电路多项式实现
通过命题演算的学习了解什么是命题和命题的取值认识什么是两个命题的或命题和且命题什么是一个命题的非命题否定命题这些新命题的取值是怎样确定的
比较开关电路与命题演算的关系并能尝试用简单的例子说明比较布尔代数与有理数系中的运算考虑它们之间的共同点不同点和相似之处
选4-2
矩阵与变换内容与要求
引入二阶矩阵
二阶矩阵与平面向量列向量的乘法平面图形的变换
以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义
证明矩阵变换把平面上的直线变成直线或点即证明
通过大量具体的矩阵对平面上给定图形如正方形的变换认识到矩阵可表示如下的线性变换恒等反射伸压旋转切变投影
变换的复合二阶方阵的乘法
通过变换的实例了解矩阵与矩阵的乘法的意义
通过具体的几何图形变换说明矩阵乘法不满足交换律
验证二阶方阵乘法满足结合律
通过具体的几何图形变换说明乘法不满足消去律
逆矩阵与二阶行列式
通过具体图形变换理解逆矩阵的意义通过具体的投影变换说明逆矩阵可能不存在
会证明逆矩阵的唯一性和 等简单性质并了解其在变换中的意义
了解二阶行列式的定义会用二阶行列式求逆矩阵
二阶矩阵与二元一次方程组
能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义
会用系数矩阵的逆矩阵解方程组
会通过具体的系数矩阵从几何上说明线性方程组解的存在性唯一性
变换的不变量
掌握矩阵特征值与特征向量的定义能从几何变换的角度说明特征向量的意义
会求二阶方阵的特征值与特征向量只要求特征值是两个不同实数的情形
矩阵的应用
利用矩阵A的特征值特征向量给出 简单的表示并能用它来解决问题
初步了解三阶或高阶矩阵
了解矩阵的应用
公式口诀
集合与函数" class="anchor-2">集合与函数
内容子交并补集还有幂指对函数性质奇偶与增减观察图象最明显
复合函数式出现性质乘法法则辨若要详细证明它还须将那定义抓
指数与对数函数两者互为反函数底数非1的正数1两边增减变故
函数定义域好求分母不能等于0偶次方根须非负零和负数无对数
正切函数角不直余切函数角不平其余函数实数集多种情况求交集
两个互为反函数单调性质都相同图象互为轴对称Y=X是对称轴
求解非常有规律反解换元定义域反函数的定义域原来函数的值域
幂函数性质易记指数化既约分数函数性质看指数奇母奇子奇函数
奇母偶子偶函数偶母非奇偶函数图象第一象限内函数增减看正负
三角函数" class="anchor-2">三角函数
三角函数是函数象限符号坐标注函数图象单位圆周期奇偶增减现
同角关系很重要化简证明都需要正六边形顶点处从上到下弦切割
中心记上数字1连结顶点三角形向下三角平方和倒数关系是对角
顶点任意一函数等于后面两根除诱导公式就是好负化正后大化小
变成税角好查表化简证明少不了二的一半整数倍奇数化余偶不变
将其后者视锐角符号原来函数判两角和的余弦值化为单角好求值
余弦积减正弦积换角变形众公式和差化积须同名互余角度变名称
计算证明角先行注意结构函数名保持基本量不变繁难向着简易变
逆反原则作指导升幂降次和差积条件等式的证明方程思想指路明
万能公式不一般化为有理式居先公式顺用和逆用变形运用加巧用
1加余弦想余弦1 减余弦想正弦幂升一次角减半升幂降次它为范
三角函数反函数实质就是求角度先求三角函数值再判角取值范围
利用直角三角形形象直观好换名简单三角的方程化为最简求解集
不等式" class="anchor-2">不等式
解不等式的途径利用函数的性质对指无理不等式化为有理不等式
高次向着低次代步步转化要等价数形之间互转化帮助解答作用大
证不等式的方法实数性质威力大求差与0比大小作商和1争高下
直接困难分析好思路清晰综合法非负常用基本式正面难则反证法
还有重要不等式以及数学归纳法图形函数来帮助画图建模构造法
数列" class="anchor-2">数列
等差等比两数列通项公式N项和两个有限求极限四则运算顺序换
数列问题多变幻方程化归整体算数列求和比较难错位相消巧转换
取长补短高斯法裂项求和公式算归纳思想非常好编个程序好思考
一算二看三联想猜测证明不可少还有数学归纳法证明步骤程序化
首先验证再假定从 K向着K加1推论过程须详尽归纳原理来肯定
复数" class="anchor-2">复数
虚数单位i一出数集扩大到复数一个复数一对数横纵坐标实虚部
对应复平面上点原点与它连成箭箭杆与X轴正向所成便是辐角度
箭杆的长即是模常将数形来结合代数几何三角式相互转化试一试
代数运算的实质有i多项式运算i的正整数次慕四个数值周期现
一些重要的结论熟记巧用得结果虚实互化本领大复数相等来转化
利用方程思想解注意整体代换术几何运算图上看加法平行四边形
减法三角法则判乘法除法的运算逆向顺向做旋转伸缩全年模长短
三角形式的运算须将辐角和模辨利用棣莫弗公式乘方开方极方便
辐角运算很奇特和差是由积商得四条性质离不得相等和模与共轭
两个不会为实数比较大小要不得复数实数很密切须注意本质区别
排列组合二项式定理" class="anchor-2">排列组合二项式定理
加法乘法两原理贯穿始终的法则与序无关是组合要求有序是排列
两个公式两性质两种思想和方法归纳出排列组合应用问题须转化
排列组合在一起先选后排是常理特殊元素和位置首先注意多考虑
不重不漏多思考捆绑插空是技巧排列组合恒等式定义证明建模试
关于二项式定理中国杨辉三角形两条性质两公式函数赋值变换式
立体几何" class="anchor-2">立体几何
点线面三位一体柱锥台球为代表距离都从点出发角度皆为线线成
立体几何" style="float: right;" picsrc="1a94b36e7c2b70e380cb4a0d" data-layout="right" width="335" height="340" url="http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D220/sign=0ebed2e7b48f8c54e7d3c22d0a282dee/71cf3bc79f3df8dc70ef9b98cd11728b461028ec.jpg" compressw="216" compressh="220" useredit="1" />垂直平行是重点证明须弄清概念线线线面和面面三对之间循环现
方程思想整体求化归意识动割补计算之前须证明画好移出的图形
立体几何辅助线常用垂线和平面射影概念很重要对于解题最关键
异面直线二面角体积射影公式活公理性质三垂线解决问题一大片
平面解析几何" class="anchor-2">平面解析几何
有向线段直线圆椭圆双曲抛物线参数方程极坐标数形结合称典范
笛卡尔的观点对点和有序实数对两者一来对应开创几何新途径
两种思想相辉映化归思想打前阵都说待定系数法实为方程组思想
三种类型集大成画出曲线求方程给了方程作曲线曲线位置关系判
四件工具是法宝坐标思想参数好平面几何不能丢旋转变换复数求
解析几何是几何得意忘形学不活图形直观数入微数学本是数形学
选4-3
数列与差分
数列的差分
通过一些具体实例理解数列差分的概念
理解数列的一二阶差分以及它们对描述数列变化的意义结合数列作为函数的图象了解差分与数列的增减极值数列图象的凹凸的关系
一阶线性差分方程
通过一些具体实例体会方程 是十分有用的数学模型
理解方程 中当b=0即方程为齐次方程时其解为等比数列当k=1即差分为常数时其解为等差数列
认识方程 的通解特解了解方程的解与相应的齐次方程 通解的关系能给出方程 的通解公式
二元一阶线性差分方程组
通过一些实例认识一阶线性差分方程组是描述现实世界的一个重要模型
了解一阶线性差分方程组的通解特解与其相应齐次方程组通解的关系
给定初值会用迭代法求一阶线性差分方程组的解能写出求解的算法框图
对给定的具体方程组能初步讨论当n→∞时解数列的变化趋势收敛发散周期
通过具体实例如种群增长等体会方程 是十分有用的数学模型借助计算工具用迭代法分别对k取一些特殊值如0
应用
学会用差分方程和差分方程组解决一些简单的实际问题
初步体会连续变量离散化的思想能用它来讨论一些简单的问题
选3-2
信息安全与密码
初等数论的有关知识
了解整除和同余模m的完全同余系和简化剩余系欧拉定理和费马小定理大数分解问题
了解欧拉函数的定义和计算公式威尔逊定理及在素数判别中的应用原根与指数模p的原根存在性离散对数问题
数论在信息安全中的应用
了解通讯安全中的有关概念如明文密文密钥和通讯安全中的基本问题如保密数字签名密钥管理分配和共享
了解古典密码的一个例子流密码利用模m同余方式
理解公钥体制单向函数概念以及加密和数字签名的方法基于大数分解的RSA方案
理解离散对数在密钥交换和分配中的应用棣弗－赫尔曼Diffi-Hellman方案
理解离散对数在加密和数字签名中的应用盖莫尔ElGamal算法
了解拉格朗日插值公式在密钥共享中的应用
必修1
1. 集合
约4课时
1集合的含义与表示
①通过实例了解集合的含义体会元素与集合的属于关系
②能选择自然语言图形语言集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用
2集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义能识别给定集合的子集
②在具体情境中了解全集与空集的含义
3集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义会求两个简单集合的并集与交集
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义会求给定子集的补集
③能使用Venn图表达集合的关系及运算体会直观图示对理解抽象概念的作用
2. 函数概念与基本初等函数
约32课时
1函数
①进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数体会对应关系在刻画函数概念中的作用了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域了解映射的概念
②在实际情境中会根据不同的需要选择恰当的方法如图象法列表法解析法表示函数
③了解简单的分段函数并能简单应用
④通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性最大小值及其几何意义结合具体函数了解奇偶性的含义
⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质参见例1
2指数函数
①细胞的分裂考古中所用的C的衰减药物在人体内残留量的变化等了解指数函数模型的实际背景
②理解有理指数幂的含义通过具体实例了解实数指数幂的意义掌握幂的运算
③理解指数函数的概念和意义能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
④在解决简单实际问题的过程中体会指数函数是一类重要的函数模型参见例2
3对数函数
①理解对数的概念及其运算性质知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数通过阅读材料了解对数的产生历史以及对简化运算的作用
②通过具体实例直观了解对数函数模型所刻画的数量关系初步理解对数函数的概念体会对数函数是一类重要的函数模型能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象探索并了解对数函数的单调性与特殊点
③知道指数函数 与对数函数 互为反函数a>0a≠1
4幂函数
通过实例了解幂函数的概念结合函数 的图象了解它们的变化情况
5函数与方程
①结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数从而了解函数的零点与方程根的联系
②根据具体函数的图象能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解了解这种方法是求方程近似解的常用方法
6函数模型及其应用
①利用计算工具比较指数函数对数函数以及幂函数增长差异结合实例体会直线上升指数爆炸对数增长等不同函数类型增长的含义
②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型指数函数对数函数幂函数分段函数等的实例了解函数模型的广泛应用
7实习作业
根据某个主题收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物开普勒伽利略笛卡儿牛顿莱布尼茨欧拉等的有关资料或现实生活中的函数实例采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成发展或应用的文章在班级中进行交流具体要求参见数学文化的要求
选2-1
常用逻辑用语
约8课时
1命题及其关系
①了解命题的逆命题否命题与逆否命题
②理解必要条件充分条件与充要条件的意义会分析四种命题的相互关系
2简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词或且非的含义
3全称量词与存在量词
①理解全称量词与存在量词的意义
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定
圆锥曲线与方程
约16课时
1圆锥曲线
①了解圆锥曲线的实际背景感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
②经历从具体情境中抽象出椭圆抛物线模型的过程掌握它们的定义标准方程几何图形及简单性质
③了解双曲线的定义几何图形和标准方程知道双曲线的有关性质
④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题直线与圆锥曲线的位置关系和实际问题
⑤通过圆锥曲线的学习进一步体会数形结合的思想
2曲线与方程
了解曲线与方程的对应关系进一步感受数形结合的基本思想
3椭圆双曲线与抛物线
椭圆
标准方程
(a>b>0,c2=a2-b2)焦点在x轴上焦点F1(-c,0)F2(c,0)
离心率
双曲线
标准方程
(a>0,b>0c2=a2+b2)焦点在x轴上焦点F1(-c,0)F2(c,0)
离心率
抛物线
标准方程 y2=2px(p>0)焦点在x轴正半轴上
焦点F(p/2,0)
空间向量与立体几何
约12课时
1空间向量及其运算
2空间向量的应用
选3-4
对称与群
通过丰富的对称图形体验日常生活和现实世界中存在着大量对称现象与总的特点
了解刚体运动的基本性质和规律
通过分析图形的不同对称性和刚体运动寻求刻画不同图形对称性的思想逐步形成图形对称变换的概念
找出其所有对称变换
逐步形成对称变换合成的概念理解对称变换合成的封闭性
通过操作认识对称变换满足结合律
通过操作理解恒等变换的概念逆变换的概念及其性质针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换
建立变换群的概念并初步了解抽象群的概念
能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群
了解一种群的表示方法乘法表示法
了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法直积
了解群论在现实生活中的重要应用如晶体分类定理
考察其他形式的对称变换如代数式通过二次三次方程的求解过程了解代数方程根的对称群的含义并了解伽罗瓦利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实感受群论在现代数学中的重大作用
选4-8
统筹法与图论初步
统筹方法
通过实例了解统筹问题的思想及其应用的广泛性
通过实例理解统筹法中的基本概念
通过实例掌握绘制统筹图的方法
学会计算统筹图中的参数事项最早开始时间和最迟到达时间工序的时差
学会寻找统筹图的关键路掌握寻找关键路的算法理解关键路的重要性
会用统筹方法分析和处理简单的实际问题
图论初步
了解图的基本概念和图在刻画实际问题中关系的作用
了解图的生成树掌握求图的生成树和最小生成树的算法
了解图的最短路问题掌握求图的最短路的算法
了解一些图论的其他问题并知道算法的复杂性
意义
一正确地理解概念
我国从20世纪50年代以来中学数学教学大纲虽经历多次修订但都有一个共同的指导思想这就是搞好三基并强调指出正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提而当前我国数学教学中的突出问题恰好是把掌握数学基础即数学概念的正确理解给忽视了一方面是教材低估了学生的理解能力为了减负淡化甚至回避一些较难理解的基本概念另一方面题海战术式的应试策略使教师没有充分的时间和精力去钻研如何使学生深入理解基本的数学概念说是为了减负其实南辕北辙老师学生的压力都增加了
没有过程的教学因为缺乏数学思想方法为纽带概念间的关系无法认识概念间的联系难以建立导致学生的数学认知结构缺乏整体性
二对不同的概念要采取不同的方法
有的只需在例题教学中实施概念教学比如相关关系的概念是描述性的不必追求形式化上的严格建议采用案例教学法对比函数关系重点突出相关关系的两个本质特征在关联性和不确定性
有的先介绍概念产生的背景然后通过与概念有明显联系直观性强的例子使学生在对具体问题的体验中感知概念提炼出本质属性
有的要联系其它概念借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学
三在新旧概念之间掌握概念
数学中有许多概念都有着密切的联系如平行线段与平行向量平面角与空间角方程与不等式映射与函数对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找分析其联系与区别有利于学生掌握概念的本质再如,函数概念有两种定义一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发其中的对应关系是将自变量的每一个取值,与唯一确定的函数值对应起来:另一种是高中给出的定义是从集合对应的观点出发,其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来
从历史上看初中给出的定义来源于物理公式,而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型函数可用图像表格公式等表示,所以高中用集合与对应的语言来刻画函数抓住了函数的本质属性,更具有一般性新东方优能中学专家认为分析两种函数定义其定义域与值域的含义完全相同,对应关系本质也一样只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义本质是一致的当然,对于函数概念真正的认识和理解是不容易的要经历一个多次接触的较长的过程